Lipschitzfunktion durch eine differenzierbare Funktion approximieren

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girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitzfunktion durch eine differenzierbare Funktion approximieren
Meine Frage:
Ich möchte folgendes zeigen:

Sei f_n stetig diff'bare Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit Supremumsnorm der Ableitung kleinergleich 1.
Z.Z. f_n konvergiert gleichmäßig gegen eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf [0,1].

Ich habe ka wie man das macht. Ich würde mich sehr sehr freuen, wenn jemand die Aufgabe löst. Vielen Vielen Dank!

Meine Ideen:
Ich habe keine Idee... leider... habe schon viel nachgedacht
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi und Willkommen here,

Tipp: Benutze den Mittelwertsatz. Ich fange mal an

Seien x,y beliebig. Dann gilt



Grüsse smile
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ich wollte noch anmerken, dass f_n aus C^1 sind.

@ gonnabphd Ich verstehe überhaupt nix was du machen willst. Aber danke, dass du geantwortet hast Mit Zunge
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Den Mittelwerstsatz kennst du? verwirrt
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ja natürlich
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreib ihn doch mal hin für ein beliebiges n und meine x,y von oben smile
 
 
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin in der meinung, dass die erste zeile von dir nicht stimmt
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

da setzt du schon vorraus, dass f_n schon gegen f konvergiert. Und das war genau das was zu zeigen ist
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ah... Punktweise Konvergenz ist tatsächlich nicht gegeben. (Ich hatte da eine Aufgabe im Kopf, welche bis auf diesen Punkt genau gleich war - bei welcher aber punktweise Konvergenz gefordert ist).

Naja, dann ist die Sache ganz einfach, dann stimmt die Aussage nicht. Die f_n müssen in diesem Falle nicht konvergieren, z.B. f_n(x) = n für alle x.

Bist du dir sicher, dass nicht gegeben ist, dass für jedes x: für n gegen unendlich? verwirrt
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

wir müssen zeigen, dass es f_n derart existieren, die glm. gegen f konvergieren.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Sei f_n stetig diff'bare Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit Supremumsnorm der Ableitung kleinergleich 1.
Z.Z. f_n konvergiert gleichmäßig gegen eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf [0,1].


Wie gesagt, ist ein Gegenbeispiel zu dieser Aussage. Also ist entweder die Aufgabe falsch, oder du hast Voraussetzungen vergessen.
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die aufgabe unpräzis formuliert. Sry!! unglücklich unglücklich


Seien f_n C^1- Funktionen auf dem Intervall [0,1], mit Maximumsnorm der Ableitung ist kleinergleich 1. Sei f eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf [0,1].

wir wollen zeigen, dass f durch f_n gleichmäßig approximiert werden können

das was wir zeigen wollen ist äquivanlent zu

Es existieren f_n wie oben derart, dass sie gleichmäßig gegen eine Lipschitzfunktion mit Lipschitzkonstante 1 auf [0,1] konvergieren.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. das ist dann aber eine völlig andere Aufgabe. Ich wiederhole nochmal. Ist die Aufgabenstellung also

Zitat:
Es sei eine Lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante 1. Zu zeigen: Es gibt eine Folge von Funktionen so dass gilt




?
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau. Ich kann mir das auch super vorstellen, dass es auch klappt, aber irgendwie fehlt mir die Idee den exakten Beweis zu konstruieren.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, eine elegante Möglichkeit sehe ich nicht, aber du könntest dir eine Funktion g gestückelt zusammenbasteln.

Also sei geben. Wir suchen in einem ersten Schritt eine Funktion , so dass





Teile [0,1] in viele kleine Teilintervalle auf, i.e. mit (wie die genau zu wählen sind, wird sich noch herausstellen) und approximiere f auf jedem dieser Teilintervalle durch eine Funktion , welche die folgenden Eigenschaften hat:



  1. (das stellt sicher, dass der Übergang von einem Stück zum nächsten differenzierbar ist)
  2. (das sagt, dass der Übergang von einem Stück zum nächsten stetig ist)


Dann definiere g stückweise über


und zeige, dass g die Eigenschaften von oben alle hat.

Da du für jedes Epsilon eine Funktion g gefunden hast, kannst du auch eine solche Folge wie gefordert daraus basteln.

Edit: äquidistante Teilintervalle sind nicht gut -> geändert.
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

erstmal vielen dank, dass du so schnell geantwortet hast.


Jetzt zu der Aufgabe:

Wie können wir sicherstellen, dass die gewünschten s_k auf den Teilintervallen existieren. Außerdem verstehe ich die Eigenschaft 3 nicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade doch noch eine bessere Idee.

Ich skizzier dir einfach mal den Beweis den ich dir vorschlagen würde und lass dich dann alle Lücken schliessen etc. (obwohl ich schon viel geschrieben habe, bleibt noch genügend zu tun)

Bevor ich dich jedoch mit dem Roman unten erschlage, sollte ich dir noch die Grundidee geben:

Wäre f "genügend schön", so könnte man hinschreiben



Würde man nun durch eine stetige Funktion approximieren, so hätte man und deshalb



wobei die rechte Seite stetig differenzierbar ist, weil s stetig ist.

Die Idee hierbei ist also, an Stelle von f die "Ableitung" von f zu approximieren durch eine stetige Funktion s und dann diese zu integrieren (um g zu erhalten). Leider ist aber f nicht unbedingt differenzierbar und deshalb muss man noch einen Zwischenschritt einbauen, in dem man f durch eine schönere stetige Funktion p approximiert, welche fast überall eine Ableitung hat und welche man einfach approximieren kann. Also



Hier nun die Beweis-Skizze:

Du kannst doch sicher beweisen, dass man f durch eine stückweise lineare Funktion p approximieren kann für welche die Stücke jeweils eine konstante Steigung irgendwo zwischen -1 und 1 haben. (z.B. wählt man eine Partition von [0,1], und definiert



und zeigt, dass für eine genügend feine Partition von [0,1].)

Sei also eine solche Funktion mit . Und seien die Teilintervalle auf denen p konstante Steigung hat.

Dann ist p auf jedem differenzierbar und hat dort die Steigung



(mal dir die Funktion auf)
Du kannst nun die stückweise konstante Funktion (sozusagen die "Ableitung von p" - obwohl sie ja in den Punkten nicht unbedingt existiert)



durch eine stetige Funktion approximieren. Und zwar soll diese Approximation so gut sein, dass sie bis auf die Intervalle mit übereinstimmt und so dass für alle x (beachte, dass diese Ungleichung für p' gilt; i.e.

mal's dir auch hier auf, dann ist ganz klar, wie diese Funktion s aussieht).

Wenn das der Fall ist, dann ist die Funktion stetig differenzierbar und

girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich werde es mir gleich durcharbeiten.

Ich habe gerade vorhin an dem Approxmationssatz von Stone und Weierstrauß gedacht. Wir können stetige Funktionen immer mit einem Polynom glm. approxmieren, was mir fehlt ist nur noch, dass wir die Polynome mit Maximumsnorm kleinergleich 1 betrachten dürfen.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, daran habe ich auch schon gedacht. Das Problem bei diesen Approximationssätzen ist jedoch, dass man überhaupt keine Kontrolle über die Ableitungen hat. Man benutzt dort schliesslich, dass man die Funktionen miteinander multiplizieren darf. Wenn man das jedoch tut, dann werden kleine Ableitungen ganz schnell mal sehr gross (man verliert die Kontrolle darüber).

Deshalb kam ich auch auf die Idee anstatt der ursprünglichen Funktion f, deren Ableitung (welche zwar nicht existiert, aber davon muss man sich ja nicht abhalten lassen Augenzwinkern ) zu approximieren. Denn Integration verträgt sich sehr gut mit der Approximation, aber das Differenzieren überhaupt nicht.
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauche noch ein wenig zeit um den beweis zu verstehen. bin einfach zu dumm und zu schlecht in mathe verwirrt
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

Der beweis müsste funktionieren. Vielen, vielen Dank.

Wie hast du denn so schnell so was ausgedacht? Ich finde die Stelle, wo man die nicht diff'baren stellen von p(x) einfach "wegdenkt" ziemlich genial.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte. smile

In der Maßtheorie benutzt man so ähnliche Sachen oft (schlechte Funktionen durch schönere approximieren, um dann irgendwas über die schlechten Funktionen auszusagen - ebenso wird einem bewusst, dass es auf Nullmengen häufig nicht drauf an kommt). Ich denke mal von dort kommt die Idee.

Grüsse Wink
girl_1987 Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist nicht klar, warum äquidistante Intervalle schlecht sein sollte?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Für die zweite Idee ist das nicht mehr der Fall. Bei der ursprünglichen Idee (die s_k hatte ich mir als Polynome höheren Grades vorgestellt) hätte man auf sehr viel mehr Dinge achten müssen um gelichzeitig die Ableitungen zu unterdrücken, die Approxmation genug gut hinzubekommen, die Übergänge stetig und differenzierbar zu machen etc.

Obwohl es mit äquidistanten sicherlich gegangen wäre, hätte man dann aber noch auf mehr achten müssen als eh schon (und daraus keinen Vorteil erhalten).

Aber eben, die erste Beweisidee ist einiges komplizierter als die, welche ich hier am Schluss hingeschrieben habe und bei letzterer bietet sich eine äquidistante Partition durchaus an.
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