kurze frage zu 12. einheitswurzeln

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Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »
kurze frage zu 12. einheitswurzeln
hi, komme grad nicht drauf. wieso gilt für 12. Einheitswurzel, dass ???

Danke schonmal und LG
Hamsterchen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Dies gilt nur für eine primitive 12. Einheitswurzel.

Man erkennt dies, indem man sich überlegt, dass durch und teilbar ist, also auch durch deren kgV: teilbar ist und dann mal berechnet.

Da eine primitive 12. Einheitswurzel sicher nicht Nullstelle von g ist (Warum?), ist sie also Nullstelle von
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

hmm sry das versteh ich irgendwie nicht. und .
Könntest du noch etwas genauer erklären? Und vielleicht könntest du mir sagen, wie man allgemein solche Umformungen "rausfindet", also falls in der Klausur andere EW dran kommen (für galoisgruppen bestimmen und sowas), dann muss ich die ja auch umformen.
Oder vielleicht ein paar Umformungen nennen? Wäre wirklich nett.

LG
Hamsterchen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal abgesehen davon, wie man darauf kommt:

Was genau verstehst du denn noch nicht? Letztendlich ist der Beweis ja jetzt (nachdem man f/g berechnet hat) nur noch eine Zeile. Und zwar die letzte Zeile aus meinem Post. Wo genau hapert es da denn?
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir haperts grad daran, dass ich nicht weiß, wie man aus deinem f und g die behauptung folgern kann. außerdem weiß ich auch nicht, wieso die primitiven EW nicht nullstelle von g sein können. weil die hoch 6 bzw. hoch 2 nie auf 1 bzw. -1 kommen können?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch f/g schon (richtig) berechnet. Nun ist doch klar, dass die Behauptung äquivalent dazu ist, dass eine Nullstelle von f/g ist.

Und dazu, dass ist: Was ist denn die charakterisierende Eigenschaft einer primitiven Einheitswurzel? Und warum kann eine Nullstelle von g eben diese Eigenschaft nicht erfüllen?
 
 
Hamsterchen Auf diesen Beitrag antworten »

die charakt. eigenschaft ist, dass die primtiven n-ten einheitswurzeln nicht 1 werden außer bei hoch n.

aber ich verstehe irgendwie immer noch nicht, was dass mit zu tun hat. ich stehe irgendwie total aufm schlauch ^^

EDIT: Ach weil da dann steht x^4=x^2-1 wenn man das auf die andere seite zieht?
Ok dann verstehe ich es (zwar noch sehr "schwammig", aber reicht).

Jetzt wären aber noch ein paar umformungen für andere EW hilfreich, falls du gerade welche kennst. Ansonsten wars das dann ja eigentlich. Danke.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre besser, wenn du das Prinzip verstehst:

Du nimmst das Polynom und dividierst alle Linearfaktoren zu n-ten Einheitswurzeln, die aber auch schon d-te Einheitswurzeln für ein sind, raus.

Dabei geht man am besten sukzessive vor und beginnt beim größten Teiler von n.

D.h. in unserm Fall dividieren wir erst die 6. Einheitswurzeln raus.
Danach dividieren wir dann die 4. Einheitswurzeln raus. Dabei muss man aber beachten, dass es 4. Einheitswurzeln gibt, die auch 6. Einheitswurzeln sind. Die darf man natürlich nicht nochmal rausdividieren.
Dies machst du solange bis der Grad des "übrig bleibenden Polynoms" genau ist. Denn dies ist gerade die Anzahl der primitiven Einheitswurzeln.

Damit erhältst du dann ein reelles Polynom, das von allen primitiven Einheitswurzeln annuliert wird.

Dass das immer geht, sieht man z.b. so:

Ist eine Primitivwurzel, so auch . Wegen ist das Produkt aller Linearfaktoren zu Primitivwurzeln also stets ein reelles Polynom.
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