Banachscher Fixpunktsatz mit dem Raum der stetigen Funktionen

28.08.2011, 21:15	ppaul	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz mit dem Raum der stetigen Funktionen Meine Frage: Hallo, bei folgender Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch: Ich habe den Raum der stetigen Funktionen $\begin{eqnarray} C([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ , die aus dem Interval $\begin{eqnarray} [1,2] \end{eqnarray}$ in die reellen Zahlen abbilden, gegeben. Dieser Raum wird mit der Maximumsnorm zu einem vollständigen Raum. Weiter habe ich die Abbildung $\begin{eqnarray} f,F: C([1,2],\mathbb R) \rightarrow C([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} f(y)=(1+y^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(y)=y-\frac{f(y)}{f'(y)} \end{eqnarray}$ . Nun soll ich eine abgeschlossene Menge D finden, die eine Teilemenge von $\begin{eqnarray} C([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist, die für die Abbildung $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ alle Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt. Weiter muss auch die Kontraktionskonstante bestimmt werden. Ich wäre sehr dankbar für jeden hilfreichen Beitrag. Meine Ideen: Ich habe bisher leider absolut keine Idee. Für den Banachraum der reellen Zahlen kann ich mir das alles vorstellen und so, aber mit diesem Raum fehlt mir einfach jegliche Vorstellung und Idee.
28.08.2011, 21:31	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz mit dem Raum der stetigen Funktionen Du meinst doch bestimmt $\begin{eqnarray} f \in C([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F: C([1,2],\mathbb R) \rightarrow C([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{D.h. } Ff \in C([1,2],\mathbb R) \text{ mit } Ff(y) = y-\frac{f(y)}{f'(y)} \end{eqnarray}$
28.08.2011, 21:37	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banachscher Fixpunktsatz mit dem Raum der stetigen Funktionen Man braucht eigentlich sogar $\begin{eqnarray} f \in C^1([1,2],\mathbb R) \end{eqnarray}$ damit $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ wohldefiniert ist. Am besten du gibst die ganze Aufgabe her
30.08.2011, 11:45	ppaul	Auf diesen Beitrag antworten »
Die komplette Aufgabe lautet wie folgt: Gerade war unser Banachraum $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wir haben die Multiplikation von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ bei der Newton-Iteration benutzt. Der Ring $\begin{eqnarray} C([1, 2], \mathbb R) \end{eqnarray}$ mit der Maximumnorm lässt auch eine Multiplikation zu. Wir nehmen die selbe Iteration von oben, um $\begin{eqnarray} y \rightarrow (1+y^2)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ durch rationale Funktionen zu approximieren. Wir wollen für den vorliegenden Fall sehen - was mathematisch trivial, aber psychologisch gewöhnungwichtig ist, dass die Funktionenfolge, die uns die Newton-Iteration liefert, durch Einsetzen Zahlenfolgen liefert, die den gewünschten Grenzwert haben und auch durch (für jeden y-Wert neue) Newton-Iteration geliefert würde. Also der Übergang von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} C([1, 2], \mathbb R) \end{eqnarray}$ macht aus den unendlich vielen Zahlen-Newton-Iterationen eine Funktions-Newton-Iteration: ÜBUNG [A02, B02]: 1) Verstehe das Funktions-Newton-Beispiel. Erkläre insbesondere, was jeweils unter $\begin{eqnarray} x, f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ zu verstehen ist. 2) Definiere eine Menge $\begin{eqnarray} D \subset C([1, 2], \mathbb R)) \end{eqnarray}$ , die (i) durch $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ in sich abgebildet wird und (ii) die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes für die vorliegende Funktionenfolge aus dem Newton-Verfahren erfüllt. Beweise insbesondere, dass (i) und (ii) für $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ erfüllt sind. Hinweise: a) Überprüfe zunächst wann die Bedingung mit der Kontraktionskonstante erfüllt ist. Man kann unter anderem die Bedingung $\begin{eqnarray} x^2 \geq (1+y^2) \end{eqnarray}$ benutzen. b) Finde danach eine abgeschlossene Teilmenge $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ , welche diese Bedingung erfüllt, die Grenzfunktion enthält und auf sich selber abgebildet wird.

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