Momente einer Lognormalverteilung auf Normalverteilung übertragen

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Steelix Auf diesen Beitrag antworten »
Momente einer Lognormalverteilung auf Normalverteilung übertragen
Sehr geehrte Leser,

meine Frage bezieht sich auf einen Sachverhalt, bei dem es darum geht, aus einer zugrundeliegenden lognormalverteilten Zufallsvariable die Momente der entsprechenden, mithilfe der Umkehrfunktion gebildeten Zufallvariable zu ermitteln.

Dahingehend habe ich zu folgenden Ansatz eine Frage:

Bei der Lösung wird zunächst die Berechnung für das n-te Moment der Lognormalverteilung gebildet und zwar:

a)

Anschließend wird eingesetzt, so dass stehen bleibt

b)

Dahingehend habe ich jetzt zwei Fragen:

1. Wieso wird hier das Integral von minus bis plus unendlich genommen und nicht mehr von 0 bis unendlich? Meine Vermutung ist, dass sich dies aus der Überlegung ergibt, dass der Logarithmus nicht für Zahlen kleiner oder gleich 0 definiert ist, jedoch schon.

2. Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung lautet doch wenn m Erwartungswert und s die Standardabweichung sind



wenn ich dort nun die einsetze, müsste eigentlich auch unter dem ersten Bruchstrich das entsprechend ersetzt werden. Wenn ich dies aber rigoros mache, dann komme ich nicht auf die oben genannte Funktion b. Wie ist dies also denn zu erklären, denn herauskürzen kann man es schließlich auch nicht so einfach? Meine Vermutung ist es, dass das wegfällt, da es ja bei der Dichtefunktion der Normalverteilung auch nicht an dieser Stelle steht und wir nun nicht mehr von 0 bis plus unendlich sondern von minus bis plus unendlich integrieren. Stünde es noch da, wäre dieses Integral auch nicht mehr 1. Aber eine mathematisch fundierte Begründung finde ich leider nicht und hoffe daher auf eure Hilfe.

Vielen Dank schon einmal im Voraus.

Gruß, Steelix
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steelix
1. Wieso wird hier das Integral von minus bis plus unendlich genommen

Weil das der "Normalfall" ist. Die Frage sollte also eher lauten, warum in a) nur von 0 bis unendlich integriert wird. Und das liegt daran, dass die Lognormalverteilung auf der positiven Achse konzentriert ist, d.h., die Dichte auf der negativen Achse gleich Null ist.
Steelix Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle Antwort. Hat denn jemand auch eine Antwort auf meine zweite Frage parat?

Mit freundlichem Gruß,

Steelix
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