Ableitung im Mehrdimensionalen

28.08.2011, 23:27	ArmiHD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung im Mehrdimensionalen Meine Frage: Hey Leute, ich zerbrech mir grad den Kopf, hoffentlich kann mir jemand behilflich sein: Funktion f: R³ -> R², (x,y,z) \|-> (x² + y² + z² , x + y) Funktion g: R² -> R², (x,y) \|-> (xy , x - y) Gib die jeweilige Ableitung f´ und g´an und g´(f). Meine Ideen: Ich bin soweit gekommen: f´ = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2x & 2y & 2z \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Dieses Ergebnis sollte stimmen, es steht auch so in der Lösung. Bei g´ komme ich auf g´ = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} y & x \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ In der Lösung steht zu g´ = $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wie kommt man da drauf und noch weniger versth ich wie man auf g´(f) kommen soll. Vielleicht könnte mir jemand helfen. Grüßle ArmiHD
29.08.2011, 00:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nutze für die Matrizen runden Klammern, die bekommst du mit \begin{pmatrix} ... \end{pmatrix}. Also, das, was du schreibst, stimmt. Könntest du auch die Aufgaben im Ganzen hochladen? Irgendeinen Clou wird es da geben. Beispielsweise würde ich als letzte Aufgabe eher (g(f))' schreiben. (Edit: Joa, das wäre natürlich auch spannend, ist aber gar nicht gefragt. Siehe untern. ) Jedenfalls stimmen sowohl f' als auch g'.
29.08.2011, 00:13	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung im Mehrdimensionalem Hallo, dein $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ ist richtig. Auf $\begin{eqnarray} g'(f) \end{eqnarray}$ kommst du , indem du $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in die Jacobimatrix $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ einsetzt. Die Funktion f bildet in den $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ab und $\begin{eqnarray} g' \end{eqnarray}$ bildet vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ in Mat2x2 ab. Bezeichne $\begin{eqnarray} t:=x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s:=x+y \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} g'(f)=\begin{pmatrix} s & t \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ g'(f) bildet dann also vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} Mat2x2 \end{eqnarray}$ ab und ist die Verkettung von g' und f.
29.08.2011, 00:49	ArmiHD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung im Mehrdimensionalen Hey, cool, dass ihr so schnell geantwortet habt. Also die komplette Aufgabenstellung werde ich hochladen. Den ersten Teil hab ich hinbekommen nur den zweiten Teil...da hängts bei mir. Das mit der Jacobimatrix ist mir auch durch den Kopf gegangen aber ich blicks nicht wie ich sie erstellen soll und wie ich f in sie anschließend einsetzten soll. Wäre verdammt cool, wenn du mir das zeigen würdest.
29.08.2011, 01:04	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung im Mehrdimensionalen Die Lösung steht ja eigentlich schon da $\begin{eqnarray} g'(f)=\begin{pmatrix} x+y & x^2+y^2+z^2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Edit : In der Aufgabenstellung ist aber doch nach $\begin{eqnarray} (g \circ f)' \end{eqnarray}$ gefragt.
29.08.2011, 01:10	ArmiHD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung im Mehrdimensionalen Würde es dir was ausmachen den Rechenweg hinzuschreiben? Das wäre zu nett Versteh nicht wie ich das alles einsetzten soll in die Jacobimatrix, sodass am Ende diese Lösung rauskommt. Edit: Ja, es ist danach gefragt, aber wenn man die Aufgabe komplett berechnet, dann muss man am Ende g´(f) berechnen um den Vergleich machen zu können (siehe Aufgabenstellung)
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29.08.2011, 11:08	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung im Mehrdimensionalen Ok, man soll bei der Aufgabe die Kettenregel an einem Beispiel testen, d.h. testen , ob $\begin{eqnarray} (g \circ f)'=g'(f)f' \end{eqnarray}$ gilt. Also soll man einmal $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ bestimmen und dann ableiten (i), was der linken Seite entspricht und einmal $\begin{eqnarray} g'(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ multiplizieren (ii), was der rechten Seite der Gleichung entspricht und dann gucken, ob das Ergebnis wirklich gleich ist. Wie sieht also $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ verkettet mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aus? $\begin{eqnarray} g(x,y)=(xy,x-y) \end{eqnarray}$ Um $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ zu bestimmen, setzt du für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ jeweils $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray}$ ein und für das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ setzt du $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ ein. Dann bekommt man $\begin{eqnarray} g \circ f=((x^2+y^2+z^2)(x+y) , x^2+y^2+z^2-x-y) \end{eqnarray}$ Diesen Ausdruck muss man jetzt ableiten und hat so die linke Seite der obigen Gleichung bestimmt. Dann bestimmt man $\begin{eqnarray} g'(f) \end{eqnarray}$ (was wir ja oben schon gemacht haben) und multipliziert es mit $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ und stellt fest, dass das gleiche Ergebnis rauskommt. Du musst dir eigentlich nur klar machen, wie es mit der Verkettung von Funktionen funktioniert. Als einfaches Beispiel dazu : Sei $\begin{eqnarray} z(x)=x+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t(y)=y^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} z \circ t=z(t)=y^2+2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \circ z=t(z)=(x+2)^2 \end{eqnarray}$

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