Winkel berechnen

29.08.2011, 12:16	PeterPancake	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel berechnen Meine Frage: Hallo, Es sei $\begin{eqnarray} E= <\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u=\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun soll ich bestimmen $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=? \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der Winkel zwischen E und u ist. Meine Ideen: Wie ich den Winkel zwischen zwei Vektoren u und v bestimme ist mir klar: $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=\frac{<u,v>}{\\|v\|\\|u\\|} \end{eqnarray*}$ Aber wie soll ich den Winkel zwischen einem Vektor und diesem Vektorraum bestimmen?? Vielen Dank für eure Tipps
29.08.2011, 12:30	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen Intuitiv würde ich sagen, dass das der Winkel zwischen $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ und der Projektion von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ entlang $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ist. Um die Projektion von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ entlang $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ schnell zu bekommen, brauchst du eine ONB von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$
29.08.2011, 13:18	PeterPancake1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen Ok danke. Reicht auch schon eine OGB? (Die war nämlich im vorherigen Aufgabenteil zu bestimmen ) Also, die OGB von E wär: $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray}$ Die orthogonale Projektion von u auf E: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und damit wär: $\begin{eqnarray} cos(\alpha)=\frac{<\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix}>}{\\|\begin{pmatrix}2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \\| \\| \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \\|} =\frac{11}{\sqrt{17}\sqrt{11}} \end{eqnarray}$
29.08.2011, 13:33	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen Hallo Peterpancake, die ONB $\begin{eqnarray} (w_1,w_2) \end{eqnarray}$ wäre sehr schön, weil man die orthogonale Projektion direkt berechnen kann mittels $\begin{eqnarray} \pi_E (v) = w_1 \langle w_1, v \rangle + w_2 \langle w_2, v \rangle \end{eqnarray}$ Ich habe das mal nachgerechnet und deins ist völlig richtig. Spricht also nix dagegen, es so wie du zu machen Sehr schön
29.08.2011, 13:40	PeterPancake1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen aha.. Den Trick mit der ONB kannte ich noch nicht. Super, Dankeschön!!
29.08.2011, 14:05	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen Wie hast du es berechnet? Über direkte Summe von $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E^{\perp} \end{eqnarray}$ und dann Koeff. via Gauß?
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29.08.2011, 16:17	PeterPancake1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen hm.. Ist eigentlich das gleiche wie deine Formel was ich gemacht habe. Nur wenn man eine OGB statt einer ONB hat muß man die Summanden noch durch $\begin{eqnarray} <w_i,w_i> \end{eqnarray}$ teilen. Zumindest wurde die Formel zur Projektion bei uns so vorgestellt
29.08.2011, 19:05	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel berechnen Ja, dann ist es letzendlich egal, ob du die Basis normierst oder beim berechnen der orthogonalen Projektion

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