Identitäten zeigen

29.08.2011, 13:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Identitäten zeigen Meine Frage: Zeige die folgenden Identitäten: (a) $\begin{eqnarray} 1-e^{-\alpha t}\sum_{k=0}^{r-1}\frac{(\alpha t)^k}{k!}=\frac{\alpha^r}{(r-1)!}\int_{0}^{t}x^{r-1}e^{-\alpha x}dx \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} t>0 \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1}\hdots\int_{0}^{1}\chi_{t_1<\hdots <t_k\leq s}dt_1\hdots dt_k=\frac{s^k}{k!} \end{eqnarray}$ für beliebiges $\begin{eqnarray} s>0 \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, wie ich das beginnen kann. Ein Hinweis wäre toll! Meine Ideen: Edit: Achso, ein kleiner Nachtrag: (a) steht im Zusammenhang mit dem Begriff der "Gammaverteilung" und (b) hat mit der "Betaverteilung" zu tun. Ich glaube aber nicht, daß man dies für die konkreten Beweise wissen muss, aber den Kontext der Aufgabe zu wissen, ist ja vielleicht trotzdem ganz nett.
29.08.2011, 15:09	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Identitäten zeigen Meine Idee zu (a): Wenn man die linke Gleichungsseite nach t differenziert (Produktregel), so erhält man den Integranden auf der rechten Gleichungsseite; also steht auf der linken Gleichungsseite die Stammfunktion von der rechten Gleichungsseite und die Identität ist gezeigt. So müsste mans doch machen können? Zu (b) habe ich noch keine Idee. Hier wäre es nett, wenn ich doch noch einen Hinweis bekommen könnte. Danke!
29.08.2011, 18:20	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Identitäten zeigen Nach längerem Überlegen bin ich jetzt auf Folgendes zu (b) gekommen: $\begin{eqnarray} \int_0^1\hdots\int_0^1 \chi_{t_1<t_2<\hdots <t_k\leq s}dt_1\hdots dt_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =k!\int_0^s dt_k\int_0^s dt_1\hdots \int_0^s dt_{k-1}\chi_{t_1<t_2\hdots <t_k} \end{eqnarray}$ [Das $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ auf der linken Gleichungsseite kommt daher, daß man die k Punkte auf $\begin{eqnarray} k! \end{eqnarray}$ Arten anordnen kann und jede Anordnung nach dem Satz von Fubini das gleiche Resultat liefert.] Jedes Integral ergibt s, also insgesamt ergeben alle k Integrale $\begin{eqnarray} s^k \end{eqnarray}$ . Man hat also $\begin{eqnarray} k!s^k \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} \frac{s^k}{k!}=\int_0^s dt_k\int_0^s dt_1\hdots \int_0^s dt_{k-1}\chi_{t_1<t_2<\hdots <t_k}=\int_0^1\hdots\int_0^1 \chi_{t_1<t_2<\hdots <t_k\leq s} dt_1\hdots dt_k \end{eqnarray}$ Dies ist meine Idee, ich hoffe auf ein Feedback.

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