Bild und Basis zum Bild zu 4x4-Matrix bestimmen - Umformung der transponierten Matrix

29.08.2011, 13:41

JB_RGP

Bild und Basis zum Bild zu 4x4-Matrix bestimmen - Umformung der transponierten Matrix

Guten Tag,

ich habe die Ehre mit meinem ersten Eintrag. Falls ich irgendwas komplett verkehrt machen sollte, bitte den Zeigefinger heben Lehrer

!

Ich will das Bild und die Basis zum Bild zu folgender Matrix bestimmen:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -1&0&1&0\\2&4&0&2\\0&3&0&3\\4&8&4&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt mit Gauß bis zu folgender Matrix:

$\begin{eqnarray*} A^T = \begin{pmatrix} -1&0&1&0\\0&1&0.5&0.5\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kann ich schon die drei Vektoren ablesen, die die lineare Hülle vom Bild aufspannen und habe das Bild soweit bestimmt.

$\begin{eqnarray*} Im(f)=span < \begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0.5\\0.5\end{pmatrix},\begin {pmatrix} 0\\0\\1\\-1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.
Ist es richtig, dass ich jetzt, um die Basis zum Bild zu finden überprüfen muss , ob alle 3 Vektoren l.u. sind und gegebenenfalls auf die l.u. reduzieren?

Wenn ja, kann ich dafür -anstatt das einzeln zu überprüfen- auch einfach meine Matrix von vorher noch weiter umformen auf:

$\begin{eqnarray*} A^T = \begin{pmatrix}1&0&0&-1\\0&1&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und meine Vektoren hier erst ablesen und erkennen, dass diese wegen den ersten zwei Spalten der transponierten Matrix linear unabhängig sind?

Ich hätte dann:

$\begin{eqnarray*} Basis\;von\;A = { \begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\-1\end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Sonst hätte ich halt mit x1 * v1 + x2 * v2 + x3 * v3 = Nullvektor überprüft, dass alle l.u. sind.

Ich hoffe ich verzapfe keinen ganz großen Unsinn hier.
Es ist übrigens das Beispiel von Tigerbine aus'm Workshop - nur, dass ich eben nicht nur das Bild selbst, sondern auch die Basis dazu suche.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

Grüße JB

29.08.2011, 13:47

tigerbine

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RE: Bild und Basis zum Bild zu 4x4-Matrix bestimmen - Umformung der transponierten Matrix
Willkommen

Da es "mein" Beispiel ist, antworte ich doch mal. Es gibt nun nicht "die Basis".

Fragen wir uns also, warum man auch ohne weitere Rechnung sieht, dass die 3 Vektoren aus

$\begin{eqnarray*} Im(f)=span\left\{ \begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0.5\\0.5\end{pmatrix},\begin {pmatrix} 0\\0\\1\\-1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

eine Basis abilden. Gauß erzeugt immer eine schöne Dreieckstruktur in der Matrix, schon mal aufgefallen. Und damit kann man lu sehr leicht ablesen.

Hat es schon klick gemacht?

29.08.2011, 14:48

JB_RGP

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Hallo Tigerbine,

richtig, wenn ich den Gauß-Algorithmus anwende, dann habe ich ja am Ende immer nur noch l.u. Zeilen und somit ist auch klar, dass die Vektoren, die ich ablese l.u. sind.

Dementsprechend nochmal einen Schritt zurück zum Gauß:
Wann bin ich genau fertig? Wenn unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen und auf der Diagonalen nur 1en? Ich hab glaube ich immer versucht soweit zu kommen, dass nur noch in der letzten Spalte (abgesehen von den Diagonaleinträgen) Werte stehen.

Grüße Johannes

29.08.2011, 15:00

tigerbine

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Zitat:

Original von JB_RGP
Hallo Tigerbine,

richtig, wenn ich den Gauß-Algorithmus anwende, dann habe ich ja am Ende immer nur noch l.u. Zeilen und somit ist auch klar, dass die Vektoren, die ich ablese l.u. sind.

Dementsprechend nochmal einen Schritt zurück zum Gauß:
Wann bin ich genau fertig? Wenn unterhalb der Diagonalen nur Nullen stehen

Dann bist du fertig. Die 1 ist auf der Diagonalen ist theoretisch nicht notwendig. Man macht es oft, weil man für die Lösung eines LGS mit Gauss eh [Rückwärtssubstitution] eh irgendwann nromieren muss.

Wichtig ist: Gibt es Nullzeilen? (hier ist ja eine) Wie lang sind die Stufen.

29.08.2011, 15:20

JB_RGP

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Das macht absolut Sinn! Muss ja nur das LGS lösen und da sind die Werte auf der Diagonalen quasi egal.
Wo du mir aber bitte noch auf die Sprünge helfen musst: was meinst du mit der Länge der Stufen und wofür ist die wichtig?
Ich fürchte, dass ich nur nicht weiß worauf du hinaus willst und ich es schon weiß, aber lieber einmal zu viel gefragt!

29.08.2011, 15:26

tigerbine

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Sag mir, welche Zeilen du nehmen würdest, für eine Basis

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	x x x x x 0 x x x x 0 0 0 x x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0

Ich damit, dass die zweite Stufe "Länge 2" hat. Die Treppe also nicht immer an der Diagonalen lang gehen muss. Mehr nicht. Am Ende kommen dann Nullzeile(n)