Unabhängigkeit von Dichten d. ZV

20.12.2006, 18:23

Kody

Unabhängigkeit von Dichten d. ZV

"Untersuchen Sie für die folgende Dichte die Zufallsvariablen X,Y auf Unabhängigkeit:
fxy(t,u)=1 innerhalb des Dreiecks, das durch t=0, u=0 und u=2(1-t) begrenzt ist, und fxy(t,u)=0 ausserhalb."

Für Unabh. gilt: $\begin{eqnarray*} fxy(t,u)=fx(t)fy(u) \end{eqnarray*}$ .

Also muss ich beide Randverteilungen fx und fy aufstellen:

$\begin{eqnarray*} fx(t)=\int_{u=0}^{2(1-t)}~fxy(t,u)~du = 2(1-t) \end{eqnarray*}$

Analog fy(u) = 1-u/2. Gilt natürlich nur im Def.bereich, sonst =0.

Heißt dies, dass wenn ich bei der Multiplikation von 2(1-t)(1-u/2) nicht 1 herausbekomme, dass X,Y abhängig sind? Klingt irgendwie zu einfach, würd mich freuen wenn jemand kurz drüberschauen könnte.

Danke euch!

20.12.2006, 18:37

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Zitat:

Original von Kody
Für Unabh. gilt: $\begin{eqnarray*} fxy(t,u)=fx(t)fy(u) \end{eqnarray*}$

Im Grunde genommen richtig, aber da musst du noch dazu sagen, für welche $\begin{eqnarray*} t,u \end{eqnarray*}$ diese Gleichung bei Unabhängigkeit gelten muss:

Nicht für alle $\begin{eqnarray*} t,u \end{eqnarray*}$ , sondern es genügt, wenn sie für fast alle $\begin{eqnarray*} t,u \end{eqnarray*}$ gilt.

Ohne Maßtheorie ist dieses fast alle natürlich etwas schwer zu beschreiben - salopp könnte man sagen: Die Menge aller $\begin{eqnarray*} (t,u) \end{eqnarray*}$ , wo diese Gleichung nicht gilt, hat die Fläche Null.

Wenn du also nachweist, dass diese Gleichung auf einer Fläche mit positivem Flächeninhalt nicht gilt, dann liegt garantiert Abhängigkeit (also keine Unabhängigkeit) vor.

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