Eigenvektor aus Kern ablesen gelingt nicht

29.08.2011, 14:56

HubertP

Eigenvektor aus Kern ablesen gelingt nicht

Hallo,

ich habe mich schon ganz gut mit Eigenvektoren beschäftigt, aber es hängt immer an der gleichen Stelle.
Soweit ich das verstanden habe, rechne ich den Kern aus, wenn ich für Lambda die Eigenwerte einsetze und dann die Matrix auf Stufenform bringe.

Bsp: Eigenwert wurde eingesetzt, das ist jetzt der Kern:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur: Wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1, & 0, & -2 \end{pmatrix}^\top \end{eqnarray*}$ als Eigenvektor? Ich kann ihn irgendwie nicht ablesen. Muss man da noch etwas rechnen?

Danke!

29.08.2011, 15:14

klarsoweit

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RE: Eigenvektor aus Kern ablesen gelingt nicht

Zitat:

Original von HubertP
Bsp: Eigenwert wurde eingesetzt, das ist jetzt der Kern:

Das ist nicht der Kern, sondern die Matrix, für die der Kern bestimmt werden soll.

Zitat:

Original von HubertP
Nur: Wie komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1, & 0, & -2 \end{pmatrix}^\top \end{eqnarray*}$ als Eigenvektor? Ich kann ihn irgendwie nicht ablesen. Muss man da noch etwas rechnen?

Siehe im Kapitel "Gaußverfahren" nach, das du eigentlich kennen müßtest.

In diesem Fall ist z frei wählbar und wurde hier mit -2 festgelegt. Der Rest ergibt sich von selbst. Augenzwinkern

29.08.2011, 15:28

HubertP

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Hallo, erstmal vielen Dank!

Das Gaußverfahren kenne ich natürlich. Wenn ich aber nach dem ablese, ist: x = 0.5, y = 0, z ist egal. Dann hat man also der besseren Übersicht wegen, den ganzen Vektor mit zwei multiplizert, und für z = -2 gesetzt.

Das ist mir soweit jetzt klar.

Aber eine andere Aufgabe: Wenn ich nun den Kern von folgender Matrix bestimmen soll: Eingesetzt wurde Lambda, was eine doppelte Nullstelle des charakteristische Polynom war. Heißt dass, dass zwei Eigenvektoren angegeben werden müssen?
$\begin{eqnarray*} <math> A - 2 \cdot E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich da eine Lösung ablesen?
Danke!

29.08.2011, 16:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von HubertP
Wenn ich aber nach dem ablese, ist: x = 0.5, y = 0, z ist egal. Dann hat man also der besseren Übersicht wegen, den ganzen Vektor mit zwei multiplizert, und für z = -2 gesetzt.

Wenn x = 1/2 ist, kann z nicht egal sein.

Zitat:

Original von HubertP
Aber eine andere Aufgabe: Wenn ich nun den Kern von folgender Matrix bestimmen soll: Eingesetzt wurde Lambda, was eine doppelte Nullstelle des charakteristische Polynom war. Heißt dass, dass zwei Eigenvektoren angegeben werden müssen?
$\begin{eqnarray*} <math> A - 2 \cdot E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1& 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich da eine Lösung ablesen?

Wenn du das Gaußverfahren kennen würdest, dann wüßtest du, daß man als erstes die Matrix in Zeilenstufenform bringen muß und dann die frei wählbaren Variablen bestimmt.

Zitat:

Original von HubertP
Heißt dass, dass zwei Eigenvektoren angegeben werden müssen?

In diesem Fall ja. Generell muß das aber nicht so sein, daß es bei einer mehrfachen Nullstelle mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gibt.

29.08.2011, 19:42

jester.

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Ich finde es schon übertrieben, eine Matrix wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 1&1&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ noch in Zeilenstufenform zu bringen und mit Parametern herumzudoktorn, wo man doch sofort sieht, dass der Rang 1 und somit die Dimension des Kerns 2 ist. Und bei einer solch einfach gestrickten Matrix ist es doch recht einfach, zwei linear unabhängige Vektoren, die im Kern liegen, zu sehen. Falls man sie nicht sieht, lohnt es sich auf jeden Fall, dies zu üben, denn es spart eine Menge Zeit.

30.08.2011, 11:46

klarsoweit

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Es gibt eben Leute, die sowas nicht sehen und obendrein trotz gegenteiliger Behauptung das Gaußverfahren nicht beherrschen, und da kann man das an solch einer Matrix durchaus mal üben. Augenzwinkern

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Eigenvektor aus Kern ablesen gelingt nicht

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