Limes Superior

29.08.2011, 15:41	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes Superior Guten Tag, ich habe folgendes versucht zu beweisen... Vor: Sei $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine beschränkte Folge. Sei $\begin{eqnarray} <br /> \alpha:= \lim_{N \to \infty } sup\left\{a_{n} \| n > N\right\} \end{eqnarray}$ . Beh: $\begin{eqnarray} \alpha \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray}$ (1) $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \forall N \in \mathbb N \exists n > N: \alpha - \epsilon < a_{n} \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb N \forall n > N: \alpha + \epsilon > a_{n} \end{eqnarray}$ . Bew: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ": Setze $\begin{eqnarray} \alpha_{N}:= sup(a_{n})_{n > N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha:= \lim_{N \to \infty } \alpha_{N} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n_{0} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|\alpha_{N} - \alpha\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} N \geq n_{0} \end{eqnarray}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray} a_{n} \leq \alpha_{N} < \alpha + \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ . Also ist (2) erfüllt. Da $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ein Häufungswert von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ ist gilt: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \forall N \in \mathbb N \exists n > N: \|a_{n} - \alpha\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Somit gilt insbesonders (1). " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ ": Zeige: $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist ein Häufungswert von $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \forall N \in \mathbb N \exists n > N: \|a_{n} - \alpha\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Aus (1) folgt $\begin{eqnarray} \alpha - \epsilon < a_{n} \end{eqnarray}$ . Und nun weiß ich leider nicht weiter. Wie kann ich hier zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{n} < \alpha + \epsilon \end{eqnarray}$ ? Schönen Gruß Pustefix91
31.08.2011, 18:19	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, hoffe, ich habe Deinen Ansatz richtig verstanden. Um nachzuweisen, dass "alpha" ein Häufungspunkt ist, hast Du im Grunde schon alles gezeigt. Es sei e > 0 und ein M e IN gegeben. Da die Bedingung 2 gilt, gibt es ein N, so dass für alle m >= N gilt: $\begin{eqnarray} a_{m} < \alpha + \epsilon \end{eqnarray}$ Mithilfe von Bedingung 1 folgt nun, dass wir zu dem gegebenen M ein r wählen können, so dass r folgende beiden Bedinungen erfüllt: $\begin{eqnarray} r \geq N \end{eqnarray}$ und: $\begin{eqnarray} a_{r} > \alpha - \epsilon \end{eqnarray}$ Da zudem auch $\begin{eqnarray} a_{r} < \alpha + \epsilon \end{eqnarray}$ folgt also insgesamt: Zu jedem gegebenen e >0 und jedem M e IN gibt es ein r >= M, so dass gilt: $\begin{eqnarray} \|a_{r} - \alpha \| < \epsilon \end{eqnarray}$ Also ist "alpha" ein Häufungspunkt der gegebenen Folge. Muss nun noch was gezeigt werden? Gruß Christian

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