Gleichung mit Funktion

29.08.2011, 19:22

kampfanzug

Gleichung mit Funktion

Entscheide, ob gibt es eine f(x) Funktion ( $\begin{eqnarray*} f: N_+ \to N_+ \end{eqnarray*}$ ), dass für jede Argument n die folgende Gleichung wahr ist:
$\begin{eqnarray*} f(f(n)) = n+1 \end{eqnarray*}$

29.08.2011, 19:58

Grouser

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Eigene Ideen?!

29.08.2011, 20:38

kampfanzug

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f(x) hat keine Fixpunkte:
$\begin{eqnarray*} x+1= f(f(x)) = f(x) = x \end{eqnarray*}$

f(x) ist Injektivität:
$\begin{eqnarray*} f(f(x_1)) = f(f(x_2)) \Rightarrow x_1 + 1 = x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Ich habe noch eine Idee:
$\begin{eqnarray*} f(1) = t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(f(f(1))) = f(f(t)) = t + 1 \end{eqnarray*}$

Ich versuche diese Aufgabe weiter zu lösen...

[Edit]
$\begin{eqnarray*} f(f(1)) = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(2) = f(1) + 1 \end{eqnarray*}$

[Edit 2]
$\begin{eqnarray*} f(x+1) - f(x) = 1 \Rightarrow f(x) = x + a \end{eqnarray*}$
Wie kann man a berechnen? f(0) kann ich nicht berechnen (oder?), weil die Bereich nur $\begin{eqnarray*} N_+ \end{eqnarray*}$ ist!

29.08.2011, 22:22

kampfanzug

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(Ja, ich weiß, double Post)

$\begin{eqnarray*} x + 1 = f(f(x)) = f(x + a) = x + 2a \Rightarrow a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Funktion existiert nicht Augenzwinkern

weil f(1) = 1,5, und 1,5 ist keine natürliche Zahl. Richtig?

29.08.2011, 22:57

Grouser

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Ja, das waren zumindest auch meine ersten Gedanken Augenzwinkern

30.08.2011, 10:41

René Gruber

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Eine interessante, und im Beweis auch etwas schwierigere Variante dieser Aufgabe ist die 4.Aufgabe der IMO 1987 (hier zu finden):

Zitat:

Man zeige, dass es keine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(f(n))=n+1987 \end{eqnarray*}$ gibt

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