Ausgleichsebene in einer Punktwolke

30.08.2011, 09:50	Speckwolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsebene in einer Punktwolke Meine Frage: Hallo zusammen! Eine etwas ungewöhnliche Fragestellung vielleicht, aber für ein technisches Problem habe ich mich vor ein paar Wochen über das Internet schlau gemacht, wie eine "Ausgleichsebene" für eine Punktwolke berechnet werden kann. Ich hoffe, die Begrifflichkeit stimmt - gesucht war eine Ebene, die zu allen diesen Punkten den minimalen Abstand besitzt. Im Rahmen meines Studiums muss ich diese Rechnung (siehe unten) nun auch zitieren und ich finde keine zitierbare Quelle (Fachbuch o.ä.), in der die Berechnung steht. Kann mir jemand von euch weiterhelfen, indem er vielleicht weiß, wie dieses Verfahren genannt wird - oder kennt jemand gar eine Quelle? Altenative Vorschläge wären natürlich auch willkommen ;-) Im Vorraus vielen Dank! =) Meine Ideen: ... Die Rechnung, die ich (wenn ich mich richtig entsinne in einem (aber welchem?!) Artikel auf wikipedia fand, sagte Folgendes: Aus den Koordinaten mehrerer (in meinem Fall etwa 110) Punkte (x,y,z) lassen sich 3 neue Punkte berechnen, welche die Ebene aufspannen, die den beschriebenen geringsten Abstand zu allen Punkten besitzt. Aus dem 2D war mir da noch etwas im Hinterkopf mit der Methode der kleinsten Quadrate, die bei Polynomgrad 1 die Gerade mit kleinstem Abstand berechnet. Für den 3D - Fall sah die gefundene Rechnung die Folgenden Formeln vor: $\begin{eqnarray} Koordinaten Punkt 1:<br /> x=\frac{Summe aller x²}{Summe aller x} <br /> y=\frac{Summe aller xy}{Summe aller x} <br /> z=\frac{Summe aller xz}{Summe aller x} <br /> <br /> Koordinaten Punkt 2:<br /> x=\frac{Summe aller xy}{Summe aller y} <br /> y=\frac{Summe aller y²}{Summe aller y} <br /> z=\frac{Summe aller yz}{Summe aller y} <br /> <br /> Koordinaten Punkt 3:<br /> x=\frac{Summe aller x}{Anzahl Punkte} <br /> y=\frac{Summe aller y}{Anzahl Punkte} <br /> z=\frac{Summe aller z}{Anzahl Punkte} \end{eqnarray}$
30.08.2011, 14:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
(Lineare) Regression bzw. Regressionsanalyse ... (es gibt einige Themen auch hierboards, --> Boardsuche). mY+
30.08.2011, 16:38	Speckwolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst vielen Dank für die schnelle Antwort! Habe mich ein wenig mit der Quelle [www] uibk.ac.at/econometrics/einf/05p.pdf herumgeschlagen. Jetzt geht aber die Quelle her und berechnet die 3 nötigen Koeffizienten (man entschuldige mein unmathematisches Deutsch) für die (erschiest mich nicht falls ich was verdrehe) Koordinatenform der Regressionsebene. Ich hingegen berechne die Ebene über die Ermittlung von 3 Punkten. Mir als Laien fällt es daher schwer, meine Formeln nochmal auf Korrektheit zu prüfen. Könnte mir hierzu jemand eine Bestätigung / traurige Mitteilung abgeben, dass die Rechnung (siehe oben) korrekt bzw. falsch ist? Beste Grüße und im Vorraus herzlichen Dank!
31.08.2011, 01:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Sache mit den 3 Koeffizienten der Ebenengleichung stimmt schon. Diese sind geometrisch identisch mit den Komponenten eines Normalvektors der Ebene, wobei bei der Berechnung der Regression selbst diese Tatsache allerdings nicht weiter relevant ist. Du wirst also die (auf Null gebrachte) Ebenengleichung mit diesen drei - vorerst unbekannten - Koeffizienten ansetzen und danach alle gegebenen Punkte dort einsetzen. Die rechten Seiten der dabei entstehenden Gleichungen werden nun im Allgemeinen nicht Null sein, aber diese sollten sich dann mittels Regressionsanalyse minimieren lassen (mehrdimensionale Regression). ______________ Die von dir beschriebenen (interessanten) Formeln zur Ermittlung von drei Punkten könnten durchaus auch gut zutreffen, wie eine kurze Rechnung mit drei gegebenen Punkten zeigt. Trage das alles doch in ein Excel-Arbeitsblatt ein und lasse das mal durchrechnen. Mit den erhaltenen drei Punkten lässt sich letztendlich die Ebenengleichung erstellen. mY+

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