Lösung einer Ungleichung erklären

30.08.2011, 15:21

Sebarto

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Lösung einer Ungleichung erklären

Meine Frage:
Hallo, ich habe hier 2 Aufgaben aus einem Aufgabenbuch gerechnet die sich sehr ähnlich sehen jedoch komplett verschiedene Lösungen haben:

1. $\begin{eqnarray*} \frac{6x-24}{x-4}<4 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \frac{6x-24}{x-4}>4 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu 1. habe ich folgende Lösung heraus:
L = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ {4}

bei 2. würde ich dasselbe herausbekommen. Der Löser sagt allerdings L = 0

Kann mir bitte jemand erklären wie man sich diese Lösung veranschaulichen kann?

30.08.2011, 15:25

tigerbine

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RE: Lösung einer Ungleichung erklären
1. Suchbild: Wo ist der Unterschied bei 1 und 2? verwirrt

verwirrt

Ging es nicht eher um Definitions- und Lösungsmenge...

30.08.2011, 15:29

Sebarto

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oh, hab vergessen das Zeichen in dem einen Teil zu ändern.

Hab das ganze jetzt abgeändert.

30.08.2011, 15:35

tigerbine

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Hast du auch das richtige Zeichen geändert? Und wie hast du gerechnet?

30.08.2011, 15:41

Sebarto

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gerechnet hab ich folgerndermaßen:

zu 1.

Fallunterscheidung:

Fall 1: (x-4)>0 => x>4

6x-24>4(4x-4)
6x-24>4x-16
x>4

Fall 2: (x-4)<0 => x<4

6x-24>4x-16
x<4

zu 2.
habe ich genauso gerechnet kam nur halt bei Fall 1 (x-4>0) auf das Ergebnis x<4 und bei Fall 2 (x-4<0) auf das Ergebnis x>4.

Jetzt verstehe ich halt nicht wieso ich das Ergebnis das einmal so interpretiere und das andere mal so.

30.08.2011, 15:42

tigerbine

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Mir alles zu kompliziert. Definiert ist die linke Seite nur für x ungleich 4. Und dann würde ich im Zähler mal eine 6 ausklammern....

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30.08.2011, 15:50

Alive-and-well

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Zitat:

Original von tigerbine
Mir alles zu kompliziert. Definiert ist die linke Seite nur für x ungleich 4. Und dann würde ich im Zähler mal eine 6 ausklammern....

Das ist die elegante Methode, die von Sebrato ist aber nicht Falsch!

Zur Topic:

1)
Fall1: Du untersuchst die Ungleichung für x > 4 und bekommst raus das die Ungleichung für alle x >4 erfüllt ist! also lösen alle x die größer sind als 4 die Ungleichung.

Fall2
das selbe!

Daher:
$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \mathbb R \backslash\{4\} \end{eqnarray*}$

2)
Fall1:Jetzt untersuchst du die Gleichung für alle x < 4 und bekommst raus, das die Ungleichung von jedem x > 4 gelöst wird. Das steht aber im wiederspruch zu dem Fall den du untersuchst, da du ja davon ausgehst das x < 4 ist.
Fall2:
Hier Unteruschst du die Ungleichung jetzt für alle x > 4 und bekommst als ergebnis alle x < 4 das steht wieder im WIederspruch!

Daher:
$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{\} \end{eqnarray*}$

30.08.2011, 16:05

Sebarto

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okay vielen Dank. Ich hatte wohl noch nicht ganz verstanden was ich da überhaupt tue Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe jetzt noch eine Aufgabe gefunden bei der "meine" Vorgehensweise wohl nicht richtig funktioniert:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{-5x+2} \end{eqnarray*}$ < 1

Wenn ich da nach meinem System vorgehe sieht das folgendermaßen aus:

Fall 1: -5x+2>0

3x-2<-5x+2
x < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

=> Fall1 ist erfüllt wenn x < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Fall 2: -5x+2<0
Rechne ich ja wieder wie oben und würde dann quasi auf x > $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ kommen. Was aber laut Löser nicht stimmen kann ...

Gibt es da eine andere Möglichkeit vorzugehen?
Wo mache ich da einen Fehler?

30.08.2011, 16:10

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{-5x+2}<1 \end{eqnarray*}$

Generell vermisse ich den Schritt der Defintionsmenge bei dir! Was dar man für x nicht einsetzen?

So, nun möchtest du die Ungleichung umstellen. Dazu wäre sehr wichtig zu wissen, für welche x denn -5x+2>0 gilt. Führt auch wieder auf die Frage nach der Defintionsmenge.

30.08.2011, 16:17

Sebarto

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-5x+2<0 ist doch dann definiert für alle x < 2/5

30.08.2011, 16:21

tigerbine

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Fangen wir bei der Defmenge an. Für alle $\begin{eqnarray*} x \neq \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ ist die Ungleichung definiert. Erkennst du die Polstelle in der Skizze?

30.08.2011, 16:30

Sebarto

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Ja, erkenne ich.

30.08.2011, 16:34

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{-5x+2}<1,~D=\mathbb R\setminus\{\frac{2}{5}\} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x>\frac{2}{5}=0.4 \end{eqnarray*}$ .

Dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} 3x-2<2-5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{2}=0.5 \end{eqnarray*}$

So, welche Lösungsmenge/Intervall bekommst du für diesen Fall nun ?

30.08.2011, 16:44

Sebarto

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Wäre das: 0,5>x>0,4 ?

30.08.2011, 16:57

tigerbine

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Nun war ich einen Schritt zu hektisch Forum Kloppe

Forum Kloppe

. Sorry. Deine Folgerungen aus meinem Fehler wären aber richtig. Einen Schritt zurück.

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-2}{-5x+2}<1,~D=\mathbb R\setminus\{\frac{2}{5}\} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} -5x+2>0 \Leftrightarrow x <\frac{2}{5} =0.4 \end{eqnarray*}$

Dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} 3x-2<2-5x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8x<4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{2}=0.5 \end{eqnarray*}$

So, wleche Lösungsmenge haben wir also.

30.08.2011, 17:06

Sebarto

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In dem Fall müsste dann x < 0,4 sein.

30.08.2011, 17:06

tigerbine

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Freude

Was kommt dann beim anderen Fall raus?

30.08.2011, 17:17

Sebarto

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Beim Fall -5x+2<0
kommt dann raus:

2<5x
x>2/5

3x-2>-5x+2
8x>4
x>1/2

In Fall 2 müsste x>0,5 sein.

30.08.2011, 17:18

tigerbine

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Das deckt sich doch sehr schön mit dem Plot. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.08.2011, 17:25

Sebarto

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hmmm^^ das ist Top.

Versuche die anderen Aufgaben auch mal auf diese Weise zu lösen. Melde mich nochmal bei Problemen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal!

30.08.2011, 17:26

tigerbine

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Nutze den PLotter um dich zu prüfen!

http://www.matheboard.de/plotter.php

Wink

Wink

30.08.2011, 17:35

Sebarto

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Direkt noch eine Frage. Was passiert wenn mein x aus der Gleichung rausfällt?

z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-5}{x-2}\leq3 \end{eqnarray*}$

Wenn ich da nach x auflöse komme ich irgendwann zu dem Punkt:

$\begin{eqnarray*} 3x-5\leq3x-6 \end{eqnarray*}$

30.08.2011, 17:43

tigerbine

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Ist die Aussage dann wahr oder unwahr?

30.08.2011, 17:56

Sebarto

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Ich schätze mal unwahr.

Wenn ich dann weiterrechne hab ich für Fall1:

x>2

und für Fall2:

x<2

Das würde mich ja dann auf die Lösung L = R \ {2} bringen.

30.08.2011, 17:59

tigerbine

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Na, wenn in einem Fall "Unwahr" raus kommt, ist deine Lösungsmenge dann nicht etwas groß?

30.08.2011, 18:08

Sebarto

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hmmmm da steh ich gerade aufm Schlauch.

Müsste dann ja in beiden Fällen unwahr sein.

Deckt sich irgendwie nicht mit dem Plot.

30.08.2011, 18:18

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \frac{3x-5}{x-2}\leq3 \end{eqnarray*}$

Sehe da schon eine Lösung. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-5}{x-2}\leq3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \ge 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-5 \leq 3x-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5 \leq -6 \end{eqnarray*}$ unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} x \le 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x-5 \geq 3x-6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5 \geq -6 \end{eqnarray*}$ smile

smile

30.08.2011, 18:25

Sebarto

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Okay, jetzt hab ichs^^

Danke nochmal ... deine Signatur hat wohl doch etwas Wahres Hammer

Hammer

30.08.2011, 18:28

tigerbine

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Big Laugh

Dann winke ich nun Wink

Wink

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