Weibull/ Arcussinus

30.08.2011, 15:56	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Weibull/ Arcussinus Meine Frage: Hallo! Man betrachte: (a) $\begin{eqnarray} \Omega=[0,\infty[, p(\omega)=e^{-\omega}, X(\omega)=(\omega/\alpha)^{\beta} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega, \alpha,\beta>0 \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \Omega=[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[, p(\omega)=\frac{1}{\pi}, X(\omega)=\sin^2(\omega) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ Zeige jeweils, daß $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{B}_{\Omega}) \end{eqnarray}$ ist und berechne die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: (a) I. Meines Wissens muß ich $\begin{eqnarray} \int_{\Omega}p(\omega)d\omega=1 \end{eqnarray}$ zeigen, damit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Wahrscheinlichkeitsdichte ist: $\begin{eqnarray} \lim_{\kappa\to\infty}\int_{0}^{\kappa}e^{-\omega}d\omega=\lim_{\kappa\to\infty}[-e^{-\omega}]_{0}^{\kappa}=\lim_{\kappa\to\infty}-e^{-\kappa}+e^{0}=0+1=1 \end{eqnarray}$ Ist noch etwas zu zeigen, damit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Wahrscheinlichkeitsdichte ist? II. Ich weiß nicht genau, wie das Bild der Zufallsvariable aussehen soll, da aber der Urbildbereich die Borel-Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ sein soll, nehme ich mal an, man soll im Bildbereich von der Borel-Sigma-Algebra ausgehen: $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,c])=\left\{\omega\in\Omega: -\infty<X(\omega)=(\omega/\alpha)^{\beta}\leq c\right\}=\left\{\omega\in\Omega: 0\leq \omega\leq \alpha \sqrt[\beta]{c}\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow X^{-1}((-\infty,c])=[0,\alpha \sqrt[\beta]{c}]\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray}$ III. $\begin{eqnarray} F_X(c)=P(X\leq c)=P([0,\alpha \sqrt[\beta]{c}])=\int_{0}^{\alpha\sqrt[\beta]{c}}e^{-\omega}d\omega=1-e^{\alpha\sqrt[\beta]{c}} \end{eqnarray}$ (b) I. $\begin{eqnarray} \int_{\Omega}p(\omega)d\omega=\lim_{\kappa\to\frac{\pi}{2}}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\kappa}\frac{1}{\pi}d\omega=\lim_{\kappa\to\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\omega}{\pi}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\kappa}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \end{eqnarray}$ Auch hier wieder meine Frage: Muß man sonst noch etwas zeigen, damit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ Wahrscheinlichkeitsdichte ist? Bei II. habe ich bis jetzt nur den Anfang, bei III. noch gar nichts. II. $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,c])=\left\{\omega\in\Omega:-\infty<\sin^2(\omega)\leq c\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{\omega\in\Omega: -1\leq \sin(\omega)\leq\sqrt{c}\right\} \end{eqnarray}$ Weiter komme ich jetzt nicht mehr. Wer kann das Bisherigen kontrollieren und mir im Falle, daß es stimmt bei (b) II. und III. weiterhelfen? Edit zu (b) Den letzten Schritt oben nehme ich zurück, der ist falsch. Stattdessen: $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,c])=\left\{\omega\in\Omega:-\infty<\sin^2(\omega)\leq c\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{\omega\in\Omega:-\sqrt{c}\leq \sin(\omega)\leq \sqrt{c}\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left\{\omega\in\Omega:\underbrace{-\arcsin(\sqrt{c})}_{\geq -\frac{\pi}{2}}\leq \omega\leq\underbrace{\arcsin(\sqrt{c})}_{\leq \frac{\pi}{2}}\right\} \end{eqnarray}$ Das bedeutet: Für $\begin{eqnarray} \arcsin(\sqrt{c})=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} -\arcsin(\sqrt{c})\leq \omega <\arcsin(\sqrt{c}) \end{eqnarray}$ . Insgesamt ist gezeigt: 1. Falls $\begin{eqnarray} \arcsin(\sqrt{c})<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,c])=[-\arcsin(\sqrt{c}),\arcsin(\sqrt{c})]\in\mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray}$ 2. Falls $\begin{eqnarray} \arcsin(\sqrt{c})=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} X^{-1}((-\infty,c])=[-\arcsin(\sqrt{c}),\arcsin(\sqrt{c})[=\Omega\in\mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ Zufallsvariable. III. $\begin{eqnarray} F_X(c)=P(X\leq c)=P([-\arcsin(\sqrt{c}),\arcsin(\sqrt{c}])=P([-\arcsin(\sqrt{c}),\arcsin(\sqrt{c})[)=\int_{-\arcsin(\sqrt{c})}^{\arcsin(\sqrt{c})}\frac{1}{\pi}d\omega \end{eqnarray}$ (Das 3. Gleichheitszeichen gilt, da es sich um eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt und es demnach egal ist, ob man den rechten Randpunkt mitzählt oder nicht: Punktwahrscheinlichkeiten sind 0.) $\begin{eqnarray} =\frac{\arcsin(\sqrt{c})}{\pi}+\frac{\arcsin(\sqrt{c})}{\pi}=\frac{2}{\pi}\arcsin(\sqrt{c}) \end{eqnarray}$ So, damit sind alle Ideen jetzt komplett und ich erhoffe ein Feedback.
05.09.2011, 13:37	Namensuchender	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Weibull/ Arcussinus Viele Ideen habe ich dazu nicht, einzig, dass p(omega)>=0 neben \int p=1. Aber mich würden die Musterlösungen zu der Serie interessieren. Und dann wüsste ich gerne, ob es ein öffentlich zugängliches Skript gibt zu der Vorlesung, bzw. was es sonst an Literatur gibt, die hilft solche Aufgaben zu lösen.

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