mit Tripeln rechnen

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
mit Tripeln rechnen
Hallo,

es ist ja sicherlich bekannt, dass sowohl , wie auch mit entsprechender Verknüpfung Körper sind.

Mit R² meine ich (ob man das so sagen darf ?)

sollen die Quaternionen sein.
Edit: Die bilden ja nur einen Schiefkörper...

Nun interessiert es mich, ob man auf Verknüpfungen (genannt: Addition und Multiplikation) definieren kann, sodass diese Struktur ein Körper ist ?


Vielen Dank,
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mit Tripeln rechnen
IR² und C sind isomorph zueinander, aber der Vektorraum IR² mit den komponentenweisen Verknüpfungen bildet keinen Körper, die Tupel (1,0) und (0,1) zum Beispiel sind Nullteiler.

Du kannst dir die Struktur mit ja einmal anschauen und die für Körper geforderten Axiome einmal überprüfen.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1,2,4 oder 8. (vgl. "Zahlen" Teil B "Reelle Divisionsalgebren", Ebbinghaus et.al.) . Also wird kein Körper, egal wie man die Addition und Multiplikation definiert.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Zusammenhang vielleicht interessant: Satz von Frobenius - es gibt mehrere, die nach Frobenius benannt sind. Dieser klassifiziert die endlichdimensionalen assoziativen Divisionsalgebren über den reellen Zahlen.

Algebra-Skript WS 2010/11, RWTH Aachen - Seite 80 unten: zentrale -Divisionsalgebren über beliebigem Körper haben quadratische -Dimension.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

leider dachte ich schon, dass kein Körper sein kann.

So hat Elvis ja darauf hingewiesen, dass es keine Rolle spiele, wie man die Verknüpfungen definieren würde.

@tigerbine:
Leider ist mir nicht klar, wie hier die Verknüpfungen definiert sind.

Falls diese komponentenweise zu verstehen ist, dann...

wäre die Struktur abgeschlossen (kann man auf die Abgeschlossenheit von zurückführen)

wäre sie assoziativ:

auf die Assoziatitität von zurückführend

Kommutativität ebenso.

Problematisch wird es dann, wenn man versucht das Inverse zu bestimmen ...


Darf man denn festlegen?


Und was ich mich schon immer gefragt habe:
Wozu "braucht" man eigentlich das "i" bei den komplexen Zahlen?
Rechnen kann man ja schon so mit ihnen und nachweisen, dass sie einen Körper bilden. Oder ist das nur dazu da, um Gleichungen wie x²+1=0 zu lösen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Additive abelsche Gruppen sind kein Problem. Das tut jeder Vektorraum, also auch jeder reelle Vektorraum.
2. Die komplexe Zahl mit braucht man als Lösung von , sie ist offenbar nicht reell, also muss man ihr einen Namen geben. Wegen spielt sie eine ganz besondere Rolle, denn noch einfacher kann man die komplexen Zahlen nicht herstellen, und es gilt und ... und ... und ...
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die Antwort.

Warum musste man ihr denn einen Namen geben ?
Man kann ja sagen oder .

Und was bedeutet folgende Notation?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist ein Vektor, also ein Element eines Vektorraums. In einem Vektorraum sind Addition und skalare Multiplikation definiert und es ist eine abelsche Gruppe.
Viel wichtiger ist die Tatsache, dass Element eines Körpers ist. In einem Körper sind Addition und Multiplikation definiert, und es ist eine abelsche Gruppe und eine Gruppe und es gelten die Distributivgesetze.

bedeutet, dass der von und erzeugte Körper ist. Mit anderen Worten mit , also f und g Polynome mit reellen Koeffizienten, g nicht das Nullpolynom.

Übrigens kann man beweisen, dass sogar einfacher , also die komplexen Zahlen einfach ein reeller Polynomring sind, dieser stimmt mit seinem Quotientenkörper der gebrochen rationalen rellen Funktionen in i überein.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pascal95
Warum musste man ihr denn einen Namen geben ?
Man kann ja sagen oder .


Du hast das schon richtig erkannt. Man hätte diesem Element nie einen Namen geben müssen. Man hat es aber trotzdem gemacht. Eben weil man so die -Schreibweise bekommt, mit der sich deutlich intuitiver umgehen lasst als mit (a,b).
Historisch gesehen hat man dem Ding den Namen i gegeben, weil es schon längst komplexe Zahlen gab, bevor sowas wie ein Körper überhaupt definiert war. Da konnte man nicht einfach auf eine Körperstruktur einführen.

@Elvis: Nichts für ungut, aber ich befürchte du verwirrst damit nur. Zumal deine erste Aussage auch noch glatt falsch war. Es ist doch sehr wohl , wobei auf eben die richtige Multiplikation definiert ist. Genauso hatte Pascal das die ganze Zeit auch gemeint. Und da ist nunmal ein Element des Körpers. Und zufälligerweise löst dieses Element die Gleichung . Und das Ding hat man dann halt i genannt.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hi Elvis: kleine Zwischenfrage aus Heidenheim:

das Einzeichnen von Elementen ( Punkten ) des R^2 im x-y-System geht klar.
Nur das von Elementen von C nicht.
Ein einfaches i an die y-Achse geschrieben erscheint mir etwas "lax"

Ich schreib dann bei meinen Schülern immer an die y-Achse, damit der Wert die Dimension "Zahl" erhält . Also so wie in Physik.

------------------------------------------------------
aber macht erst mal mit dem Thread weiter, hat Zeit.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke für die Antwort, tmo.

Damit hat sich das für mich eher verständlich gemacht, ich glaube, du hast verstanden, was ich meinte.

@Dopap:
Man kann doch einfach "Im" für imaginären Anteil dran schreiben (der ist ja aus R, dann passt das mit der Einheit ja wieder - bzw. keine, da es ja vielmehr einheitslos ist)
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mit Tripeln rechnen
Zitat:
Original von lgrizu
IR² und C sind isomorph zueinander[...]


Zitat:
Original von elvis
ist ein Vektor, also ein Element eines Vektorraums.


Zitat:
Original von tmo
, wobei auf eben die richtige Multiplikation definiert ist.


Normalerweise habe ich mich ja mittlerweile daran gewöhnt, dass viele Mathematiker scheinbar Isomorphie als eine Relation zwischen Mengen von denen sie dann behaupten sie wären Strukturen auffassen, aber hier finde ich es sehr verwirrend.
Mit der nicht abgekürzten Schreibweise hätte man, welche Isomorphie als Relation zwischen Sktrukturen betrachtet, hätte man:

, weil Isomorphie für Mengen Gleichmächtigkeit bedeutet.

, weill alle drei Strukturen unendlichdimensionale -Vektorräume sind.

, wegen den von lgrizu erwähnten Nullteilern auf der rechten Seite.

Die Schreibarbeit ist ein wenig nervig, aber da ein Teil der Frage auf diese Unterschiede abzuzielen scheint, würde sich der Aufwand denke ich lohnen.

@Dopap:
Warum ist es wichtig wie die Achsen heißen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

pascal95 hat recht. IM ist schon eine reelle Zahl.
Es ging nicht um den Namen der Achse , sondern um die Einheiten
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit Einheiten?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, gelegentlich zur Klärung und nicht nur zur Verwirrung beizutragen. Augenzwinkern
Unter verstehe ich den Standardvektorraum der Dimension 2 über dem Körper der reellen Zahlen. Dieser ist bis auf Vektorraumisomorphie durch den Körper und zum Beispiel als Vektorraum der Funktionen realisiert.
Um vom Körper zum Körper zu kommen, benötigt man eine Wurzel aus -1, diese nennt man i, es gilt also und i ist eine Nullstelle des Polynoms .
Nach Kronecker ist , also ein algebraische Körpererweiterung von vom Grad 2. Man kann zeigen, dass algebraisch abgeschlossen ist, eine algebraische und algebraisch abgeschlossene Körpererweiterung von heißt algebraischer Abschluß von und wird auch mit bezeichnet. Man kann weiter zeigen, daß der algebraische Abschluß eines Körpers bis auf Körperisomorphie eindeutig ist, und das ist nun der Grund, warum wir wieder ganz schlampig vom Körper reden dürfen und jeden beliebigen Vertreter dieser Isomorpieklasse von Körpern als Körper der komplexen Zahlen nehmen dürfen.
In diesem Sinne ist dann indem wir auf geeigneten Mengen Addition und Multiplikation richtig definieren, und jede dazu isomorphe Struktur (jedes "Modell") tut's auch, z.B. die "Riemannsche Zahlenkugel" ohne Nordpol (Menge mit Addition und Multiplikation), ...
So gesehen darf ich mit Fug und Recht einen bestimmten "Punkt der Ebene" (affiner Raum) mit bezeichnen, denn die "Gaußsche Ebene" (Menge mit Addition und Multiplikation) ist ein Modell des Körpers der komplexen Zahlen.
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