Differenzenverfahren Stabilität

30.08.2011, 22:10	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzenverfahren Stabilität Hallo, $\begin{eqnarray} Lu:=-u''+bu'+cu=f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(0)=u(1)=0 \end{eqnarray}$ Die Diskretisierung davon durch das klassische Differenzenverfahren sieht dann so aus $\begin{eqnarray} L^hu_i^h:=-\delta^2u_i^h+b_iD^0u_i^h+c_iu_i^h=f_i \end{eqnarray}$ Was $\begin{eqnarray} D^0 \end{eqnarray}$ ist usw. ist nicht wichtig für die Frage. $\begin{eqnarray} u_0^h=u_N^h=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [A]u^h=[f] \end{eqnarray}$ (LGS) Also kann man die Diskretisierung als LGS schreiben. Das nur kurz zum Hintergrund. Es geht um die Stabilität von $\begin{eqnarray} L^h \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \|\|u-u^h\|\|_A \le C\|\|L^hu-Lu\|\| \end{eqnarray}$ Jetzt steht hier hinter $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ verbirgt sich $\begin{eqnarray} \|\|(L^h)^{-1}\|\| \end{eqnarray}$ . Ich frag mich was damit gemeint ist. $\begin{eqnarray} L^h \end{eqnarray}$ ist ja nur ein Operator, der $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ diskretisiert mit Schrittweite h. Jetzt ist die Diskretisierung aber ja äquivalent zu einem LGS wie ich ja oben geschrieben habe. Ist dann mit $\begin{eqnarray} (L^h)^{-1} \end{eqnarray}$ womöglich die Inverse von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray*}$ (s.o.) gemeint? Wenn das nicht der Fall ist, was könnte gemeint sein? Hat jemand Rat? Danke schön

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