Kugelvolumen, Integralgrenzen?

30.08.2011, 22:23	Gastspiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugelvolumen, Integralgrenzen? Hey, in meiner Analysis Vorlesung wurde das Volumenintegral für eine Kugel in Kugelkoordinaten sehr anschaulich dargestellt. Analog zu der in der Vorlesung vorgestellten Anschauung , dachte ich dürfte es keine Rolle spielen ob ich nun theta von 0-2pi und phi von 0-pi, oder theta von 0-pi und phi von 0-2pi gehen lasse. In meiner Vorstellung wird dabei dasselbe Volumen aufgespannt - könnte mir bitte jemand helfen weshalb dem nicht so ist ? Rechnerisch ist mir das klar, aber anschaulich irgendwie nicht. Würde mir wirklich sehr helfen ! Vielen Dank schonmal an Alle
31.08.2011, 09:31	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schägst bei Kugelkoordinaten folgende Intervallgrenzen vor: $\begin{eqnarray} R \in [0;R_0] \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \phi \in [0;180°] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \theta \in [0;360°] \end{eqnarray}$ Das funktioniert aus folgenden Gründen nicht (wenn man die üblichen Definition der Kugelkoordinaten zugrunde legt): (1) Das Intervall $\begin{eqnarray} \phi \in [0;180°] \end{eqnarray}$ beschreibt nur eine Halbkugel. (2) Das Intervall $\begin{eqnarray} \theta \in [0;360°] \end{eqnarray}$ zerstört dort die Eindeutigkeit, denn die Koordinaten $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 360°-\theta \end{eqnarray}$ beschreiben denselben Breitengrad. Man bachte aber, dass die Definition der Kugelkoordinaten keineswegs eindeutig ist. Zum Beispiel verwendet man auf dem Globus andere Kugelkoordinaten (Breitengrad, Längengrad). Dort läuft $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ nicht im Intervall nicht [0;180°], sondern in [-90°;+90°]. Auf dem Globus beschreibt also $\begin{eqnarray} \theta=0 \end{eqnarray}$ den Äquator, während dies bei den üblichen Kugelkoordinaten den Norpol beschreibt.
31.08.2011, 10:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du übrigens anschaulich machst, wenn du einfach mal die Grenzen so änderst. Du integrierst dann 2 mal über die Halbkugel. Da könnte man sich doch denken, dass dann auch wieder das Volumen einer Vollkugel rauskommen sollte. Aber hier kommt der Begriff der Orientierung ins Spiel. Die beiden Parametrisierungen (bis auf Nullmenge) $\begin{eqnarray} (0,1) \times (0,\pi) \times (0,\pi) \to D^3, (r,\theta,\phi) \mapsto r \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (0,1) \times (\pi,2\pi) \times (0,\pi) \to D^3, (r,\theta,\phi) \mapsto r \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Halbkugel haben entgegengesetzte Orientierungen (Rechne dazu einfach mal die Determinante der Jacobimatrix aus). Folglich kommt 0 raus, wenn man über beide integriert und sie dann addiert.
31.08.2011, 11:56	Ytterbium	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weis schon, dass die Aufgabe ist, das Kugelvolumen mit Kugelkoordinaten zu berechnen, ist ja auch einleuchtend, aber ebenso geht es mit kartesischen Koordinaten: Ich stelle mir einen Kreis vor, der um seinen Durchmesser rotiert. Also einfach 2* Pi mal Integral aus der Kreisfunktion in den Grenzen -r bis r.
31.08.2011, 19:30	Gastspiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, schonmal vielen Dank für die Antworten, glaube langsam bekomme ich eine Idee Wenn ich es gerade noch mal formulieren dürfte : Das Problem bei den mir vorgeschlagenen Grenzen ist also bildlich gesprochen, dass sich das Integral 0-pi (von theta) exakt mit dem von pi-2pi aufhebt, aufgrund der hier angesprochenen Problematik des Breitengrades (theta = 2pi - theta) Aber jetzt stellt sich mir die Frage, es gibt doch dann ein analoges "Problem" mit den Längengraden oder ? Diese sind dann doch auch nicht eindeutig bei den (richtigen) Grenzen von 0-2pi ? Ist denn dann die Eindeutigkeit wirklich mein Problem oder beschränkt es sich auf die "Problematik" der Orientierung ? vielen lieben Dank für die Mühe ! btw. entschuldigt, dass ich es nicht so schick schreiben kann Latex beherrsche ich zwar aber irgendwie funktioniert das hier nicht wie ich es kenne. Sollte ich noch einen Post verfassen bemühe ich mich um den korrekten Zeichensatz
31.08.2011, 20:37	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
in welchen Grenzen man die Winkel laufen lässt ist ist prinzipiell egal. Es geht nur darum, dass die Funktion Kartesisch -> Kugel () umkehrbar ist. () ist eigentlich eine Relation (wg. Nordpol etc.) die Umkehrrelation ist aber eine Funktion.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »