Laplace Transformation

31.08.2011, 00:25

Stef2

Laplace Transformation

Hi folgendes Problem,

Bin beim lösen folgender Aufgabe $\begin{eqnarray*} y''+8*y*+12*y=0 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} y(0)=10,y'(0)=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s^2*Y(s)-s*y(0)-y'(0)+8*(s*Y(s)-y(0))+12*Y(s)=1 s^2*Y(s)-s*10-8+8*s*Y(s)-80+12*Y(s)=1//einsetzen-->y(0),y'(0) Y(s)*(s^2+8*s+12)-s*10-8-80=1 Y(s)*(s^2+8*s+12)=89+10*s Y(s)= (89+10*s) / (s^2+8*s+12) \end{eqnarray*}$

ok jetz muss ich was mit dem Nenner machen, weil ich sonst ja nciht transformieren kann.

Normalerweiße rechne ich jetz mit der quadratischen Formel meine Nullstellen aus und danach mit den Nullstellen mach ich Brüche für die Partialbruchzerlegung.

Aber mir kommt bei der Rechnung -8 unter der Wurzel raus. ( bei der Quadratischen Formel)
Das heißt ja Komplex --> und mit dem kann ich ja nciht weiterechnen ?
Also meine Frage ist jetz wie ich nun weiter vorgehen sollte ?

Danke schon mal im Vorraus =)

31.08.2011, 11:21

Stef2

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Hi,
sehe grad, das ich mich schon gleich bei der Abgabe verschrieben hab Hammer

$\begin{eqnarray*} y''+8*y'+12*y=0 \end{eqnarray*}$
der Rest passt aber weiter weiß ich noch immer nicht ...

31.08.2011, 13:06

Q-fLaDeN

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Wieso steht auf der rechten Seite nach der Transformation plötzlich eine 1?

Außerdem kommt unter der Wurzel keine -8 heraus. $\begin{eqnarray*} b^2 -4ac = 64-48 = 16 \end{eqnarray*}$ . Eine PBZ ist hier mMn auch ein wenig zu aufwändig. Mit dieser Umformung gehts schneller:

$\begin{eqnarray*} Y(s)= \frac{88+10s}{s^2+8s+12} = \frac{88+10s}{(s+4)^2-4} = 10 \cdot \frac{(s+4)}{(s+4)^2-4} + \frac{48}{(s+4)^2-4} \end{eqnarray*}$

31.08.2011, 13:27

Stef2

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Danke mal

Das mit der Eins ist so eine Geschichte, die bei der Laplace Transformation einfach so ist. Mein Lehrer meinte das muss man sich einfach merken... Ich kann dir nicht sagen warum das so ist, aber es ist so.

$\begin{eqnarray*} x^2+p*x+q x12=-p/2 \sqrt{(p^2/4)-q} s^2+8*s+12 x12=-2 \sqrt{4-12} x12=-2 \sqrt{-8} \end{eqnarray*}$
Also die Nenner Nullstelle ist mMn schon komplex. Aber bin echt kein Ass in Mathe...

Der Nenner von dir schaut gut aus ( also es gibt eine Fromel mit der ich zurück transformieren könnte). Aber ich habe keine Ahnung wie du darauf gekommen bist. verwirrt

31.08.2011, 13:48

Stef2

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Also ich sehe schon das der Nenner so stimmt aber wie kommst du auf sowas ? gibt's da einen weg wie man das bestimmen kann ?

Wär im Leben nicht einfach so draufgekommen.

31.08.2011, 13:49

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Stef2
Danke mal

Das mit der Eins ist so eine Geschichte, die bei der Laplace Transformation einfach so ist. Mein Lehrer meinte das muss man sich einfach merken... Ich kann dir nicht sagen warum das so ist, aber es ist so.

Nein, das ist nicht "einfach so". Die Laplace Transormierte der 0 ist 0, und nicht 1.

Zitat:

Original von Stef2
$\begin{eqnarray*} x^2+p*x+q x12=-p/2 \sqrt{(p^2/4)-q} s^2+8*s+12 x12=-2 \sqrt{4-12} x12=-2 \sqrt{-8} \end{eqnarray*}$
Also die Nenner Nullstelle ist mMn schon komplex. Aber bin echt kein Ass in Mathe...

p = 8, und nicht 4.

Zitat:

Original von Stef2
Der Nenner von dir schaut gut aus ( also es gibt eine Fromel mit der ich zurück transformieren könnte). Aber ich habe keine Ahnung wie du darauf gekommen bist. verwirrt

Genau deswegen hab ich ihn ja so umgeschrieben Augenzwinkern

Das sind einfach nur Umformungen. Was genau verstehst du daran nicht? Der Nenner wurde mit Hilfe der quadratischen Ergänzung zerlegt, den Zähler einfach nur aufgespalten.

Als Anmerkung: Ich habe hier den Weg über die quadratische Ergänzung des Nenners gewählt, da diese immer funktioniert. Bei der Linearfaktorzerlegung kann man auf Probleme mit komplexen Zahlen stoßen. In diesem Fall ginge natürlich auch die PBZ.

31.08.2011, 14:17

Stef2

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Hi danke mal, sehe mir grade Videos zur dieser quadratischen Ergänzung an. Ist mir neu oder ich habe diese Methode total verdrängt =D

Aber das mit der 0 ... also ich hab jetz bei mir in der Mitschrift nachgesehen und einen Kollegen auch gefragt. Es steht wirklich so da bei mir.
Habs hochgeladen, das war die Korrektur des Professors nach einer Mitarbeitsüberprüfung. Ist nicht das selbe Bsp aber ähnlich. Und ich kann mich auch erinnern das er das sagte mit der 0.

http://img27.imageshack.us/img27/2715/nsdolka.png

ok danke mal für deine Hilfe.

31.08.2011, 17:42

Q-fLaDeN

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Hm, es kann sein, dass man das machen muss, wenn die Anfangswerte 0 sind. Ansonsten ist das aber definitiv falsch, einfach eine 1 hinzuschreiben.

31.08.2011, 18:31

Huggy

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Die in dem Bild angegebene Lösung

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{1}{4}e^{-t}-\frac{1}{4}e^{-5t} \end{eqnarray*}$

erfüllt gar nicht die Randbedingung y'(0)=0. Die korrekte Lösung der Dgl des Bildes ist simpel y = 0.

31.08.2011, 19:32

Stef2

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@ Huggy
also ich habe das so gelernt das man diese "randbedingungen" nach dem "hin"trasformieren einfach einsetzt.Wenn die Null sind streicht sich halt ein wenig... Wie meinst du das ? "Die korrekte Lösung der Dgl des Bildes ist simpel y = 0."
Bist du dir da sicher ??? Ich glaub nicht das mein Prof. das nicht wüsste, er hat das auf der Tafel später vorgerechnet.

Also ich weiß nicht vl kann da auch noch wer was dazu sagen ob L{0} transformiert 1 ist. Weil hab bald eine Prüfung und für mich war das bisher klar wenn da Null steht einfach eine 1 nach der Transformation daraus zu machen und genauso das mit dem einsetzten von y'(0) und y(0)...

Gruß

31.08.2011, 19:39

Q-fLaDeN

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@Huggy
Ah, dankeschön, hatte das gar nicht überprüft Hammer

@Stef2

$\begin{eqnarray*} \mathcal L \{0\} = \int_0^{\infty}0 \cdot e^{-st}~\dd t = 0 \end{eqnarray*}$

So kommt man auch auf die Lösung y = 0.

Das mit der 1 vergess mal schnell wieder. Da hat dir dein Lehrer/Prof. Stuss erzählt.

31.08.2011, 20:02

Huggy

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Zitat:

Original von Stef2
@ Huggy
also ich habe das so gelernt das man diese "randbedingungen" nach dem "hin"trasformieren einfach einsetzt.Wenn die Null sind streicht sich halt ein wenig... Wie meinst du das ? "Die korrekte Lösung der Dgl des Bildes ist simpel y = 0."
Bist du dir da sicher ??? Ich glaub nicht das mein Prof. das nicht wüsste, er hat das auf der Tafel später vorgerechnet.

Also ich weiß nicht vl kann da auch noch wer was dazu sagen ob L{0} transformiert 1 ist. Weil hab bald eine Prüfung und für mich war das bisher klar wenn da Null steht einfach eine 1 nach der Transformation daraus zu machen und genauso das mit dem einsetzten von y'(0) und y(0)...

Zu deinem Prof. kann ich nichts sagen. Aber du kannst doch selbst nachrechnen, dass diese angebliche Lösung nicht stimmt.

Deine Dgl war

$\begin{eqnarray*} y''+6y'+5y=0 \end{eqnarray*}$

mit den Randbedingungen

$\begin{eqnarray*} y(0)=y'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Nun sieht man sofort, dass y = 0 die Dgl und die Randbedingungen erfüllt. Etwas unständlicher kommt man über die allgemeine Lösung der Dgl auf das gleiche Ergebnis. Und die Laplace-Transformation führt auch auf diese Lösung, wenn man die falsche 1 auf der rehten Seite weglässt.

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