Integration per Substitution

31.08.2011, 01:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration per Substitution Meine Frage: Hallo! Ich möchte gerne mal das Integrieren per Substitution und außerdem das partielle Integrieren wiederholen, da man das ständig braucht. Ich glaube, folgende Aufgabe eignet sich sehr gut zu beidem: Berechnen Sie: $\begin{eqnarray} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{7+\sin(t)}{(2+\sin(t))(3+\sin(t))}\cos(t)dt \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee ist es, folgende Substitution durchzuführen: $\begin{eqnarray} x:=\sin(t) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}=\cos(t), dt=\frac{dx}{\cos(t)} \end{eqnarray}$ . Die angepassten Integrationsgrenzen sind dann $\begin{eqnarray} \sin(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi}{2})=1 \end{eqnarray}$ . Demnach habe ich dann: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \frac{7+x}{(2+x)(3+x)}\cos(t)\frac{dx}{\cos(t)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_0^1 \frac{1}{(2+x)(3+x)}\cdot (7+x)dx \end{eqnarray}$ und muß hier nun partiell integrieren. Dazu setze ich $\begin{eqnarray} f'(x):=\frac{1}{(2+x)(3+x)}\Rightarrow f(x)=\ln\left(\frac{\vert x+2\vert}{\vert x+3\vert}\right) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g(x):=7+x\Rightarrow g'(x)=1 \end{eqnarray}$ . Dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} \underbrace{\left[\ln\left(\frac{\vert x+2\vert}{\vert x+3\vert}\right)\cdot (7+x)\right]_0^1}_{=8\ln\left(\frac{3}{4}\right)-\left(-7\ln\left(\frac{3}{2}\right)\right)}-\underbrace{\int_0^1 \ln\left(\frac{\vert x+2\vert}{\vert x+3\vert}\right)dx}_{=2\ln\left(\frac{27}{32}\right)}=9\ln(3)-13\ln(2)\approx 0,876597 \end{eqnarray}$ So, dies ist mein Ergebnis; vielleicht kann mir ja jemand sagen, ob ich korrekt substituiert, partiell integriert und gerechnet habe? LG
31.08.2011, 01:22	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, sieht gut aus
31.08.2011, 01:23	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch gerade mal meinen Voyage 200 herausgekramt und das Ergebnis stimmt jedenfalls. Wenigstens etwas, das ich kann.

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