Beweis Nullstelle

31.08.2011, 01:34	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Nullstelle Hallo, ich möchte beweisen, dass eine Polynomfunktion mit $\begin{eqnarray} deg=3 \end{eqnarray}$ mindestens eine Nullstelle besitzt. Ich habe mir dazu gedacht, dass ich es mit dem Zwischenwertsatz angehe. Z.z: $\begin{eqnarray} p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0 \end{eqnarray}$ besitzt mindestens eine Nullstelle. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion in einem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0=x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1=-x \end{eqnarray}$ dann gilt nach dem Zwischenwertsatz, $\begin{eqnarray} p(x)=a_3x_0^3+a_2x_0^2+a_1x_0^1+a_0=-x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p(x)=a_3x_1^3+a_2x_1^2+a_1x_1^1+a_0=x \end{eqnarray}$ Darf man den Beweis so führen?
31.08.2011, 01:47	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Nullstelle Nein. Was soll denn $\begin{eqnarray} x_0=x \end{eqnarray}$ bedeuten? Ferner sind diese Funktion ja in der Regel nicht symmetrisch zur y-Achse. Beim ZWS ist entscheidend, dass du Stellen findest, oder deren Existenz belegen kannst, an den die Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben. Dabei könnte es dir helen, o.b.d.A. $\begin{eqnarray} a_3>0 \end{eqnarray}$ anzunehmen. $\begin{eqnarray} a_3=0 \end{eqnarray}$ musst du eh ausschließen!
31.08.2011, 01:49	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Nullstelle $\begin{eqnarray} x_0=x \end{eqnarray}$ damit wollte ich zeigen das $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ eine positive Zahl ist...
31.08.2011, 01:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Nullstelle Nein, x ist frei, x0 ist konkret. Das geht so nicht zusammen. Ferner kannst du dir x0 ja aussuchen. f(x0) ist das Interessante. Ich mache nun aber Schluss für heute.
31.08.2011, 01:54	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Nullstelle Ok, kann man eine Nullstelle einer allgemeinen Polynomfunktion also nicht beweisen? Weil für konkrete Funktionen ist das ja trivial! N8 hangman!
31.08.2011, 02:10	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, klar geht das. Du kannst z.b. den Tipp von Tigerbine nutzen und oBdA $\begin{eqnarray} a_3> 0 \end{eqnarray}$ fordern. Damit bist du aber dann auch schon fast fertig... Musst halt nur noch den Zwischenwertsatz draufjagen und zeigen, dass es $\begin{eqnarray} x_0,x_1 \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f(x_0) < 0 ^ f(x_1) > 0 \end{eqnarray}$ .
Anzeige

31.08.2011, 10:36	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Sei $\begin{eqnarray} p(x) \end{eqnarray}$ eine stetige Funktion in einem abgeschlossenen Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_3>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_0 \in a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_1 \in b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x_0)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x_1)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0>0 \end{eqnarray}$ Wäre das nun korrekt?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »