Wie beweist man diese Ungleichung?

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Gaast Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweist man diese Ungleichung?
Hey.. wie beweist man denn diese Ungleichung:

x \in \mathbb R, x \geq -1, n \in \mathbb N

(1 + x)^{n} \geq 1 + nx


Gruß steff
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweist man diese Ungleichung?
Stichwort: Bernoullische Ungleichung


Der Beweis geht ganz gut mit vollständiger Induktion. Augenzwinkern
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweist man diese Ungleichung?
Induktion?? Hab ich was verpasst
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie beweist man diese Ungleichung?
Vermutlich ja, wenn du die nicht kennst.

Ein kleiner Exkurs "vollständige Induktion":

Du hast eine Aussage A(n), die du für alle n aus N oder zumindest für einen Teil davon zeigen sollst. Also schreiben wir diese Aussage mal hin:

Beispiel:

Jetzt gibt es 2 Dinge zu tun:
1. Induktionsanfang
2. Induktionsschluß

zu 1: Da wird für n der erste Wert eingesetzt, für den die Aussage gelten soll. In der Regel ist das n=1. Das Einsetzen des Anfangswertes sollte zu einer wahren Aussage führen.

zu 2: beim Induktionsschluß wird angenommen, daß die Aussage A(n) für ein n aus N bewiesen ist. Die Aussage A(n) ist nun also die Induktionsvoraussetzung. Zu zeigen ist jetzt, daß dann auch die Aussage A für die nächste Zahl (das wäre also n+1) gilt. Das heißt, es muß gezeigt werden, daß dann auch A(n+1) gilt. In Formel:
A(n) ==> A(n+1)

A(n+1) ist beim Induktionsschluß das Induktionsziel. Und da es immer gut ist, wenn man weiß, wohin die Reise gehen soll, schreiben wir das mal für diese Aufgabe hin:
Beispiel:

Dabei habe ich in A(n) einfach alle n durch n+1 ersetzt.
Wie zeigt man nun die Gültigkeit von A(n+1)?
In den meisten Fällen nimmt man dazu eine Seite von A(n+1) und formt diese so um, daß ein Teil davon einer Seite von A(n) entspricht. Diesen Teil kann man dann durch die andere Seite von A(n) ersetzen. Mit weiteren Umformungen sollte dann die andere Seite von A(n+1) rauskommen.

Noch Fragen? Hier gibt es einen Workshop:
[Workshop] Vollständige Induktion]
Gaat Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Also einfach n=1 einsetzen --> damit ist die Gleichung erfüllt. Für n größer 1 wird die linke Seite größer. Ist somit die Gleichung für n gegen unendlich bewiesen? Was ist mir dem x?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gaat
Für n größer 1 wird die linke Seite größer. Ist somit die Gleichung für n gegen unendlich bewiesen? Was ist mir dem x?

1. ist das eine Ungleichung und keine Gleichung.
2. ist zu beweisen, daß die Ungleichung für jede beliebige natürliche Zahl n gilt und nicht für n gegen unendlich.
3. ist die Ungleichung damit nicht bewiesen, da die rechte Seite bei positiven x mit größer werdendem n auch immer größer wird.
4. wird die linke Seite nur dann größer, wenn das x positiv ist. Mit negativem x wird die linke Seite sogar immer kleiner.

Da du offensichtlich die vollständige Induktion noch nicht kennst, ist es denkbar ungünstig, diese anhand der Bernoullischen Ungleichung lernen zu wollen. Die Frage ist jetzt, wieso du an der Schule die vollständige Induktion noch nicht hattest (oder vielleicht doch?) und wie man diese Wissenslücke jetzt schließen kann.
 
 
vektorraum Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Da du offensichtlich die vollständige Induktion noch nicht kennst, ist es denkbar ungünstig, diese anhand der Bernoullischen Ungleichung lernen zu wollen. Die Frage ist jetzt, wieso du an der Schule die vollständige Induktion noch nicht hattest (oder vielleicht doch?) und wie man diese Wissenslücke jetzt schließen kann.


@klarsoweit: Ich glaube man darf nicht voraussetzen, dass die Vollständige Induktion i.A. an Schulen gelehrt wird. Ich z.B. komme aus Sachsen, da steht diese nicht einmal im Lehrplan. Wie es in anderen Bundesländern aussieht weiß ich leider nicht. Aber auch meine Mathekommilitonen haben dieses Beweisverfahren erst an der Universität gelernt...
Gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn da keiner helfen bei dieser aufgabe???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Schildere doch bitte erstmal, wie du in diese Situation gekommen bist, daß du eine Aufgabe lösen mußt, wo dir offensichtlich zur Lösung die nötigen Vorkenntnisse fehlen. Wie lautet überhaupt das übergeordnete Thema, das ihr durchnehmt?

Ich meine, ich könnte dir die Lösung hier hinschreiben. Aber was hilft das?
gaast Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir die lösung sagen? Wär dir recht dankbar. Ich sehs wahrscheinlich an dem beispiel wie das geht mit dieser induktion.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich ganz ungerne, zumal du zu meinem vorigen Beitrag keine Antwort geliefert hast. Aber ich will ja nicht so sein. Augenzwinkern

Zu zeigen:
Für n aus N und alle reellen x >= -1 gilt:


Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang mit n=1:

Stimmt in der Tat.

Induktionsschritt:
Es gelte die Behauptung für ein n aus N.
Es ist zu zeigen, daß dann auch gilt:


Es gilt:

q.e.d.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der User die Induktion nicht kennt, jedoch mit den Grundbegriffen der Kurvendiskussion vertraut ist, könnte er alternativ auch die Funktion



mit ganzzahligem Parameter studieren. Zu zeigen wäre:



Den trivialen Fall sollte man vorab abhandeln. Und für kann man zeigen, dass ein globales Minimum (Definitionsbereich beachten!) bei mit Wert besitzt. Das wäre es dann.

Wozu braucht man eigentlich ? Könnte man nicht sogar (mindestens) zulassen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eine sehr interessante Lösungsvariante. Augenzwinkern

Das x >= -1 braucht man bei der vollständigen Induktion an dieser Stelle mit der Abschätzung:


Möglicherweise kann man auch den Bereich für das x erweitern. Dazu müßte man dann aber zusätzliche Überlegungen anstellen.
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