Dreiecksmatrix

31.08.2011, 13:04	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreiecksmatrix Moin moin. Hab da gerade ein Verständnissproblem bei einem Beweis. Es geht um Dreiecksmatrizen. Also der Satz lautet: Das Produkt unterer (oberer) Dreiecksmatrizen ist wieder eine unterer (oberer) Dreiecksmatrix. Beweis: Wir betrachen untere Dreiecksmatrizen, der andere Fall wir analog bewisen. Seien alo $\begin{eqnarray} A=[a_{ij}] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=[b_{ij}] \end{eqnarray}$ untere n x n- Dreiecksmatrizen und sei $\begin{eqnarray} C=[c_{ij}]=AB \end{eqnarray}$ ihr Produkt. Wir Müssen zeigen das für $\begin{eqnarray} i<j c_{ij}=0 \end{eqnarray}$ gilt. Nach Definition der Matrixmultiplikation ist $\begin{eqnarray} c_{ij}= a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj} \end{eqnarray}$ Für i<j können wir die summanden umordnen zu $\begin{eqnarray} c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ij-1}b_{j^-ij}+a_{ij}b_{jj}+...+a_{in}b_{nj} \end{eqnarray}$ Da A und B untere Dreiecksgestalt haben, sind im ersten Teil der Summe alle b's null; auserdem verschwinden die a's im zweiten Teil. Damit ist aber $\begin{eqnarray} c_{ij}=0 \end{eqnarray}$ , womit der Beweis erbracht ist. So... ich verstehe jetzt nicht was er da genau mit den Summen gemacht hat und was das bringen soll. Danke schon mal für eure Hilfe. mfg ich
31.08.2011, 15:31	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Summenschreibweise würde das so aussehen $\begin{eqnarray} c_{i_{j}}=\sum\limits_{k=1}^{j-1} a_{i_{k}}b_{k_{j}}+\sum\limits_{k=j}^n a_{i_{k}}b_{k_{j}} \end{eqnarray}$ In der linken Summe ist jetzt $\begin{eqnarray} k \leq j-1 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} b_{k_{j}} = 0, \end{eqnarray}$ da B ja eine untere Dreiecksmatrix ist. In der rechten Summe ist $\begin{eqnarray} k \geq j \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} a_{i_{k}}=0 \end{eqnarray}$ Da A eine untere Dreicksmatrix ist. Gruß
01.09.2011, 11:37	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort und sorry das ich mich erst jetzt wieder melde. Ich versuche das gerade zu verstehen und bekomme es nicht so ganz hin. Also wenn ich das so wie du schreibe: $\begin{eqnarray} c_{i_{j}}=\sum\limits_{k=1}^{j-1} a_{i_{k}}b_{k_{j}}+\sum\limits_{k=j}^n a_{i_{k}}b_{k_{j}} \end{eqnarray}$ Wenn jetzt $\begin{eqnarray} k \leq j-1 \end{eqnarray}$ ist, sind dammit nur die Elemente (sagt man das so bei Matrizen??) der Matrix B angesprochen bei denen der Zeilenindex kleiner als der Spaltenindex ist und damit bei einer unteren Dreiecksmatrix, genau die oberen Elemante die Null sind. Bei der rechten Summe werde ich allerdings noch nicht so ganz schlau. was hat den das $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_{ik} \end{eqnarray}$ zu tun??
01.09.2011, 12:54	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ läuft ja über das Intervall $\begin{eqnarray} 1 \leq i < j \leq n \end{eqnarray}$ Sagen wir einfach mal $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Matrizen. Wir müssen dann zeigen das für alle $\begin{eqnarray} i < j, c_{i_{j}}= 0 \end{eqnarray}$ ist. Also hier das $\begin{eqnarray} c_{1_{2}}= 0 \end{eqnarray}$ (Der einzige Fall wo $\begin{eqnarray} i < j \end{eqnarray}$ ist) Dann ist $\begin{eqnarray} c_{1_{2}}=\sum\limits_{k=1}^{j-1}%20a_{i_{k}}b_{k_{j}}+\sum\limits_{k=j}^n%20a_{i_{k}}b_{k_{j}}=a_{1_{1}}\underbrace{b_{1_{2}}}_{=0}+\underbrace{a_{1_{2}}}_{=0}b_{2_{2}} =0 \end{eqnarray}$ Du nutzt jeweils die Vorraussetzung das $\begin{eqnarray} a_{i_{j}}=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_{i_{j}}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i <j \end{eqnarray}$ In der rechten Summe startet man jetzt mit dem Index j da dann die $\begin{eqnarray} a_{i_{k}}=0 \end{eqnarray}$ sind. Gruß
01.09.2011, 13:26	netcrack	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die mühe @ LoBi Warst echt eine Große Hilfe Gruß ich

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »