Darstellungsmatrix

21.12.2006, 10:38

Gela

Darstellungsmatrix

Ich steh gerade voll auf dem schlauch...
kann mir bitte jemand erklären wie ich solch eine Darstellungsmatrix bestimme?
Also eigentlich kann ich es, aber in diesem Fall bekomme ich das irgendwie nich hin!

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z^{4}_{5}\to \mathbb Z^{3}_{5}, (a,b,c,d)\to (a+c,a+b+d,b+c+3d) \end{eqnarray*}$

und die geordneten Basen
$\begin{eqnarray*} B={(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0,0,0)} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} C={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} \end{eqnarray*}$

Und ich soll jetzt halt die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} D_{B,C}(f) \end{eqnarray*}$ bestimmen? ...Nur wie? ich weis nicht wie ich das mache weil ich ja dann von 4elementen auf 3kommen muss oder sowas!

21.12.2006, 10:48

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrix
In die Spalten der Matrix kommen die Koordinatenvektoren bezüglich der Basis C der Bilder der Basisvektoren von B. Also nehme den 1. Basisvektor von B und bestimme das Bild bzw. dann dessen Koordinatenvektor.

21.12.2006, 10:53

Gela

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so was in der art?!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.12.2006, 11:10

klarsoweit

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Nein. (1, 2, 1) ist zwar das Bild von (1, 1, 0, 0). Du mußt aber (1, 2, 1) als Linearkombination in der Basis C darstellen. Der daraus resultierende Koordinatenvektor kommt als Spalte in die Matrix.

21.12.2006, 12:25

Gela

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Achso, ich bin wohl doch ziemlich verwirrt Augenzwinkern

...
So müsst es dann stimmen - oder ?

$\begin{eqnarray*} D_{B,C}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 4 & 0\\ 1 & 1 & 4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.12.2006, 12:57

klarsoweit

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Prinzipiell ok. Aber kann es sein, daß du dich beim Bild von (0, 0, 1, 1) verrechnet hast?

21.12.2006, 14:05

Gela

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Habs nochmal nachgerechnet - müsste so stimmen!

Aber ich bräuchte dann nochmal nen Tipp:
Ich soll zeigen das $\begin{eqnarray*} det(M_{p}) = det(M) mod p \end{eqnarray*}$ , nur hab ich keine Ahnung wie! verwirrt

21.12.2006, 14:49

klarsoweit

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RE: Darstellungsmatrix

Zitat:

Original von Gela
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z^{4}_{5}\to \mathbb Z^{3}_{5}, (a,b,c,d)\to (a+c,a+b+d,b+c+3d) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f((0, 0, 1, 1))= (0+1,0+0+1,0+1+3*1)=(1,1,4) \end{eqnarray*}$

Zu der Determinate habe ich im Moment keine Idee.

21.12.2006, 14:54

tigerbine

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RE: Darstellungsmatrix
Wofür steht denn $\begin{eqnarray*} M_p \end{eqnarray*}$ ?

21.12.2006, 15:16

Gela

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upsala...hatte mich verschrieben (statt 3d muss 2d) - sorry! So ist es richtig: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{5}^{4}\to \mathbb Z_{5}^{3}, (a,b,c,d)\to (a+c,a+b+d,b+c+2d) \end{eqnarray*}$ Sorry nochmal Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in \mathbb Z^{n\times n} \end{eqnarray*}$
Für eine Primzahl p sei $\begin{eqnarray*} M_{p}=M modp=(m_{i,j}mod p)_{1\leq i,j\leq n} \end{eqnarray*}$ definiert.

Zu zeigen gilt nun $\begin{eqnarray*} det(M_{p})=det(M) mod p \end{eqnarray*}$
Der Beweis ist wahrscheinlich ziemlich einfach, aber ich habe echt keine Ahnung!

21.12.2006, 18:00

tigerbine

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Servus, aus der Algebra bin ich gerade etwas raus... Mir stellen sich folgende Fragen:

- Warum p prim? Ist nur dann Z/mod p ein Körper?
- Zur Determinantenberechnung braucht man nur +, *.

siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Determinant...#Leibniz-Formel

- Ein blick in die Modulo-Rechnung könnte dann die Frage lösen

siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29

22.12.2006, 10:37

vektorraum

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@tigerbine: Zur Wiederholung -

Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann wird die Menge der Restklassen modulo $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit der Addition von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ induzierten Addition und Multiplikation zu einem kommutativen Ring mit 1. Dieser wird mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bezeichnet.
Ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Primzahl, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ zu einem Körper. Das Problem ist einfach die Inversenbildung bzgl. der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ... Beweis erfolgt über die Abbildung
$\begin{eqnarray*} \varphi: \mathbb Z/p \mathbb Z \rightarrow \mathbb Z/ p \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die auf Injektivität zu überprüfen ist.

Tipp an Gela: Erinnere dich einfach mal, welche Umformungen Determinanten unverändert lassen und wende mal ein paar davon an... Nicht von den Restklassen abschrecken lassen Wink

22.12.2006, 12:03

tigerbine

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@vektorraum: Danke - dann lag ich ja mit der Erinnerung nicht ganz daneben Augenzwinkern

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Darstellungsmatrix

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