Vollständigkeit von IR

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Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit von IR
Meine Frage:
Hallo,
ich versuche gerade zu verstehen, wie die Konstruktion von IR aus Q mit der Intervallschachtelung vorgenommen wird.

Ich habe dazu auch immer ein Beispiel im Kopf und zwar:
Sei f(x)= x²-2, diese Funktion hat in IR die Nullstellen und in Q keine Nullstellen.

Nun kann ich mich durch Intervalle immer mehr an die gesuchte Zahl annähern. Ich beginne mit [1;2], dann [1,4;1,5], [1,41;1,42],...
Die Überlegung ist dabei, dass es nicht zwei verschiedene Zahlen gibt, die in allen Intervallen liegen. Und die einzige Zahl, die in allen Intervallen liegt, ist reell. Richtig bis dahin?


Meine Ideen:
So, nun ist eine Intervallschachtelung eine Folge von Intervallen ([an,bn]), wobei
1. <an> mon. steigend, <bn> mon. fallend
2. an bn
3. lim (n--> ) <bn-an> =0

Wenn ich das richtig verstanden habe wird die Menge aller Intervallschachtelungen (IS) aufgeteilt in Äquivalenzklassen, die aus äquivalenten IS besteht.
Zwei IS sind äquivalent, wenn [dn-an] eine Nullfolge ist. Wenn [an,bn] äquivalent zu [cn,dn], dann sind die inneren Punkte der IS gleich.

In meinem Beispiel sind die IS äquivalent, da [dn-an] eine Nullfolge ist. Somit ist der innere Punkt aller IS gleich und reell. ()
Aber wie beweise ich nun die Vollständigkeit von IR aus diesen Annahmen?
Ich wäre sehr dankbar für ein paar Tipps.
Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeit von IR
Hat denn niemand eine Idee?
Vielleicht könnt ihr mir bei dem folgenden Beispiel helfen. Hier habe ich nämlich Schwierigkeiten den Satz zu widerlegen (müsste aber über die Vollständigkeit von IR laufen)


Eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion mit überall auf I
positiver Ableitung ist dort überall streng monoton wachsend.
In Q gilt dieser Satz nicht.
Gegenbeispiel: I = [1; 2], f (x) =



Erstmal in IR:
Die Funktion hat an und - eine Polstelle.
Auf dem Intervall [1;2] ist die Ableitung stets positiv.
Die Funktion wächst auch streng monoton. Die Funktion ist doch in diesem Intervall garnicht stetig, oder? Ist sie trotzdem streng monoton steigend???

Und in Q:
In Q kann garnicht eingesetzt werden für x. Aber was bedeutet das für die Monotonie?

Kann mir jemand dieses Beispiel erklären? Dann komme ich vllt auch bei meinem Beweis zur Vollständigkeit von IR weiter.

Brauche dringend Hilfe!
Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständigkeit von IR
Dann führe ich mal den Monolog weiter unglücklich

Vielleicht opfert sich ja doch noch jemand und gibt mir nen Hinweis.

Bei dem Beispiel ist mir nun klar geworden, dass ich einfach sagen kann, dass ich in Q über die Monotonie der Funktion nichts aussagen kann, obwohl die Ableitung auf dem Intervall positiv ist. Damit habe ich den Satz ja schon widerlegt.

Ob der Graph nun in IR auf [1;2] streng monoton wachsend ist trotz Polstelle würd mich immernoch interessieren....muss ja, sonst würd der Satz in IR auch nicht gelten!

Habe einen Ansatz zum Beweis der Vollständigkeit von IR, bei dem ich immernoch Hilfe brauche.
Ich schreibe nun etwas in Anlehnung an meinen ersten Beitrag zur Intervallschachtelung.

Ich glaube, ich muss zeigen, dass jede nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke besitzt. Kann das sein? Wer kann mir helfen?
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal: Deine Funktion ist auf streng monoton wachsend. Für ist sie gar nicht definiert.

Zur Vollständigkeit: Ich würde einfach zeigen, dass eine beliebige Cauchyfolge in - so wie du es definiert hast - konvergiert und das ist eigentlich trivial.
Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach ist meine Funktion sehrwohl für x=2 definiert. Nur nicht für . Deshalb ja die Frage, ob ich überhaupt sagen kann, dass die Funktion auf dem ganzen Intervall [1;2] monoton wachsend ist (da ja eben die Polstelle mittendrin liegt)

Mein Problem ist, dass mein Prof den Beweis über Intervalllschachtelungen haben möchte und da stehe ich aufm Schlauch.
Mit Cauchy-Folge scheint es echt einfacher zu sein.

Habe einen Beweis zum Satz vom Maximum, bei dem der erste Teil eben beweist, dass ein Supremum existiert. Vielleicht geht es darüber:

f in [a,b] stetig
z.z.: f beschränkt

Sei f nicht beschränkt, dann ist f entweder auf [a; (a+b)/2]
oder auf [(a+b)/2;b] nicht beschränkt.
Durch fortlaufende Intervallhalbierung erhält man eine Intervallschachtelung [;], sodass f auf jedem Intervall nicht beschränkt ist.

Es gibt in jedem [;] ein mit f()>n. Daraus folgt: <f()> ist divergent

Widerspruch: Da f stetig, müsste f() gegen die innere Zahl konvergieren. f() müsste als Funktionswert bestehen.

S=sup{f(x)l x [a;b]}

Wäre das ein ausreichender Beweis zur Existenz eines Supremums? Wenn ja, ist damit dann die Vollständigkeit von IR schon bewiesen?
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, ich hab mich oben verlesen.

Nein, du kannst nicht sagen, dass auf streng monoton wachsend ist, da auf diesem Intervall nicht definiert ist. Du kannst hingegen sehr wohl sagen, dass auf streng monoton wachsend ist.

Dein Beweis darunter verwirrt mich. Ich hab keine Ahnung was du damit zeigen willst.
Ich weiß auch nicht wie du dein durch Intervallschachtelung vollzogene Konstrukton von durch eine Intervallschachtelung beweisen willst. Denn es ist a priori so, dass eine solche Intervallschachtelung in deinem Konstruktum konvergiert.
 
 
Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »

"Ich weiß auch nicht wie du dein durch Intervallschachtelung vollzogene Konstrukton von durch eine Intervallschachtelung beweisen willst. Denn es ist a priori so, dass eine solche Intervallschachtelung in deinem Konstruktum konvergiert."

Genau das will ich ja zeigen.
Es gilt ja, wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt und der Grenzwert ist das Supremum. (in IR, nicht in Q)

Nun soll ich es nunmal über Intervallschachtelung beweisen und ich kann es mir nicht aussuchen.

Mein Beweis verwirrt mich grad selbst ein bisschen Augenzwinkern

Ich nehme an, f ist nicht beschränkt
-->zeige, dass dann <f()> divergent

So, und jetzt wollte ich einen Widerspruch anführen, dass nach Voraussetzung <f()> konvergent gegen die innere Zahl des Intervalls und somit auch beschränkt. Ich dachte, das würde über das Folgenkriterium gehen.

"Folgenkriterium: f ist stetig in x0 g.d.w. Für jede Folge (xn) aus D, die gegen x0 konvergiert, konvergiert f(xn) gegen f(x0)."
Dieser Satz gilt in beide Richtungen!
Und mein f ist nach Voraussetzung stetig.
Da meine Folge aus Intervallschachtelungen gegen ein x0 konvergiert muss also auch f(xn) gegen f(x0) konvergieren.

Damit hätte ich Konvergenz gezeigt, daraus folgt Beschränktheit.
Und der Grenzwert ist nun das Supremum.

Aber vllt. irre ich mich auch und muss eines Besseren belehrt werden. Gerne!
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jay11
Es gilt ja, wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt und der Grenzwert ist das Supremum. (in IR, nicht in Q)


Das stimmt nicht. Zwar ist eine konvergente Folge beschränkt, aber der Grenzwert muss nicht das Supremum sein.

Und wie ich bereits sagte: Es folgt direkt, ohne nachzudenken, aus deiner Konstruktion von , dass diese vollständig ist.
Daher weiß ich nicht was du da noch zeigen willst.

Denn sei eine beliebige Cauchyfolge, dann ist nach Konstruktion in . q.e.d.
Jay11 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke für die Hilfe.
Habe es mir wohl alles zu kompliziert gemacht und natürlich auch falsch unglücklich
Werde es dann so begründen, wie du vorgeschlagen hast.
Wink
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