Ebenenscharen parallel

31.08.2011, 14:51

oschili

Ebenenscharen parallel

Hallo liebe Community,

vor folgendem Problem stehe ich im Moment. Ich habe eine Ebenenschar und soll bestimmt für welche Werte diese Parallel zu eine anderen Ebene sind. Diese andere Ebene ist allerdings keine Ebenenschar.

Folgendes:

Ebenenschar: $\begin{eqnarray*} E:\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + r*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 0 \\ u \\ 1-u^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Normalenvektor der Ebenenschar:

$\begin{eqnarray*} n_1=\begin{pmatrix} 0 \\ -1+u^2 \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Parallel zu der x1 - x3 Ebene.

Man kann zwar auch so erkennen, dass der Wert u=0 sein muss. Allerdings rechnerisch, ahbe ich die Ebene aufgestelllt und dann den Normalenvektor davon gebildet. Und dann überprüft ob, die Beiden kollinear sind.

Also hier erstmla mein Rechenweg:
$\begin{eqnarray*} F:\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + v*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Normelenvektor:
$\begin{eqnarray*} n_2=\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann :

$\begin{eqnarray*} k*n_1=n_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k*\begin{pmatrix} 0 \\ -1+u^2 \\ u \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k*0=0 k*(-1+u^2)=-1 k*u=0 \end{eqnarray*}$
Hier kann ich ja eigentlich ablesen, das u=0 sein muss. Aber wie rechne ich das in der 2. Zeile aus? Kann ich das k einfach weglassen, weil da geht es ja dann nur um die Vielfachen?

31.08.2011, 18:43

Bjoern1982

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Zitat:

Aber wie rechne ich das in der 2. Zeile aus?

Was willst du denn ausrechnen ?
Einsetzen von u=0 wäre eher angesagt, was dir dann den Wert für k liefert, für welchen die 3 Gleichungen wahr werden.

31.08.2011, 18:56

oschili

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$\begin{eqnarray*} k*(-1+u^2)=-1 k*u=0 -1k+0^2*k=-1 -1k=-1 k=1 \end{eqnarray*}$

Also ist k gleich 1, also eine Vielfache unter der Bedinung, dass u=0 ist?

31.08.2011, 19:00

Bjoern1982

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Ich verstehe den Satz bzw die Frage nicht, aber k=1 kommt dann in der Tat raus (was auch keine wirkliche Überraschung ist Augenzwinkern

)

31.08.2011, 19:02

oschili

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Also zur Erklärung.

mit dem k=1 haben wir ja gezeigt das die Normalenvektoren, damit auch die Ebenen, parallel sind. Das sind sie allerdings nur wenn u=0. Big Laugh