Abbildungsmatrix-Vorgänge deuten

31.08.2011, 15:28	Jay11	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix-Vorgänge deuten Hallo, ich stehe bei einer Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Wenn ich eine lineare Abbildung mit der Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ habe. Dann kann ich leicht sehen, dass es sich um eine Spiegleung an der Geraden y=x handelt. Das liegt daran, dass die Spalten der Abbildungsmatrix die Bilder der Basisvektoren sind und ich so leicht erkenne, dass aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wird und aus $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ähnlich einfach wäre auch eine Projektion auf eine Koordinatenachse oder eine Spiegelung am Ursprung zu erkennen. Was ist nun aber, wenn ich eine allgemeine Abbildung habe, die sich nicht so leicht deuten lässt? Wie bekomme ich heraus, wie die Abbildungsmatrix wirkt? Folgenden Ansatz habe ich dazu gefunden: Nehmen wir mal eine 3x3-Matrix A Dann könnte ich Punkte mit dieser Matrix abbilden (Ax) Es ist aber schwer zu deuten, was A macht. Nun kann ich ja die Eigenwerte und Eigenvektoren der Abbildungsmatrix bestimmen und die Eigenvektoren bilden eine neue Basis des IR^3. Die Eigenvektoren sind nun die Spalten meiner Transformationsmatrix T. Wenn ich nun T^-1A*T rechne, bekomme ich eine Diagonalmatrix heraus mit den Eigenwerten als Einträge. So, aber warum und woran kann ich jetzt leichter erkennen, was meine Abbildungsmatrix A mit einem Punkt macht? Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe. Bestimmt liegt die Lösung auf der Hand.
31.08.2011, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi :V\to V \end{eqnarray}$ macht etwa ganz einfaches mit den Eigenvektoren, denn es ist $\begin{eqnarray} \phi(x)=A\cdot x=\lambda x \end{eqnarray}$ eine Streckung des Eigenraums um den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ .
01.09.2011, 08:06	Jay11	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Elvis. Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \phi :V\to V \end{eqnarray}$ macht etwa ganz einfaches mit den Eigenvektoren, denn es ist $\begin{eqnarray} \phi(x)=A\cdot x=\lambda x \end{eqnarray}$ eine Streckung des Eigenraums um den Faktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Ich möchte es an einem einfachen Beispiel verstehen. Wie sehen die Eigenwerte und Eigenvektoren aus, wenn ich einen Punkt mit A spiegel/auf die x-Achse projeziere/... Die Eigenvektoren ändern ihre Richtung nicht, wenn sie durch A abbgebildet werden. Sagen dann die Eigenwerte an, wie das Vorzeichen und die Länge sich verändert? Mein Problem dabei ist das fehlende graphische/anschauliche Verständnis. Wenn ich einen Punkt mit meiner Matrix A abbilde, dann tue ich dies bzgl. der Standardbasis des IR³. Wenn ich nun den Eigenraum zu A bestimmt habe, ist das dann quasi mein neues Koordinatensystem? Und jeder Punkt/Vektor kann nun als Linearkombination der Eigenvektoren dargestellt werden? So wie vorher alle Punkte/Vektoren durch phi: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = a* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ +b* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ +c* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dargestellt werden konnten? Gilt nun: phi: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = aEV1+bEV2+cEV3 oder phi: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = a $\begin{eqnarray} \lambda1 \end{eqnarray}$ EV1+b $\begin{eqnarray} \lambda2 \end{eqnarray}$ EV2+c $\begin{eqnarray} \lambda3 \end{eqnarray}$ *EV3 Ich will einfach verstehen, was ich aus den Eigenwerten und Eigenvektoren ablesen kann und wie ich daran erkennen kann, was für eine Abbildung ich vor mir habe... Ich hoffe, ihr versteht was ich meine.
01.09.2011, 16:13	Jay11	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann nicht glauben, dass mir keiner helfen kann. Ich formuliere einfach mal die Aufgabe, die ich gerne lösen möchte. Gegeben ist eine Abbildungsmatrix A. Stelle einen beliebigen Punkt/Vektor in der neuen Basis aus Eigenvektoren dar und nutze die Eigenschaften der linearen Abbildung aus, um zu deuten, wie die Abbildungsmatrix A wirkt. Basis aus Eigenvektoren bilden kein Problem. Und dann?
02.09.2011, 09:41	H.J.	Auf diesen Beitrag antworten »
Mach es dir doch einfach: Da in der Aufgabenstellung kein bestimmter, sondern ein beliebiger Punkt verwendet werden kann, kannst du einfach den Nullvektor $\begin{eqnarray} \mathbf{0} \end{eqnarray}$ nehmen.
02.09.2011, 11:24	Jay11	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich den Nullvektor nehme, sehe ich nicht, was die Abbildung tut. Außer, dass sie den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet Davon hab ich ja für mein Verständnis nichts gewonnen. Nehmen wir mal ein Beispiel A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich A* $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ rechne, bekomme ich den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es gilt also: phi( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) = 3* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ +5* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Eigenwerte der Matrix A sind $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1= 1 und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2= 2 Eine mögliche Basis aus Eigenvektoren wäre: B={ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } Nun gilt ja Ax= $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ x mit x als Eigenvektor! Stimmt alles soweit. Jetzt stelle ich den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Linearkombination der neuen Basis dar. phi( $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ) = 3* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ +8* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier weiß ich nicht, ob ich die Eigenvektoren auch noch * $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ nehmen muss, sodass statt der 8 eigentlich $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 4 steht (hier ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ =2 gewesen). Meine einzige Frage ist, was es mir bringt Jetzt habe ich zwei Arten diesen Punkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einzuzeichnen. Eben über zwei verschiedene Basen. Ich zeichne immer alles fleißig ins Koordinatensystem, um es zu verstehen. Aber ich sehe nicht, warum ich nun eine Aussage darüber machen kann, was die Matrix A mit allen Punkten macht. Diese Aufgabe ist übrigens eine Frage in einer mündlichen Prüfung und sie taucht in fast jedem mir vorliegenden Prüfungsprotokoll auf. Also muss ich es wissen. Hiiilfe!
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02.09.2011, 14:55	Jay11	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs verstanden! Danke trotzdem

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