DGL lösen

31.08.2011, 15:28

Javun

DGL lösen

Hallo,

ich habe mit den folgenden 2 DGL Probleme.

1. $\begin{eqnarray*} y^{''} =\sqrt{y^{'} x} \end{eqnarray*}$
Hier hab ich gar keinen Ansatz...

2. $\begin{eqnarray*} y^{'} =(x+4y)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{'} = x^{2} + 4xy + 16y^{2} \end{eqnarray*}$

Danach versuchte ich den homogenen Teil der Gleichung also nach wegstreichen des $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ durch Trennung der Variablen zu lösen. Jedoch bekomme ich die Variablen nicht getrennt.

Am Ende steht bei mir:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = 4xy + 16y^{2} \end{eqnarray*}$

Und ich komm nicht mehr weiter...?!

31.08.2011, 15:32

René Gruber

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Zitat:

Original von Javun
1. $\begin{eqnarray*} y^{''} =\sqrt{y^{'} x} \end{eqnarray*}$

Substitution $\begin{eqnarray*} z=y' \end{eqnarray*}$ führt zur DGL $\begin{eqnarray*} z' =\sqrt{zx} \end{eqnarray*}$ . Die kannst du durch Trennung der Variablen lösen, anschließend rücksubstituieren (=integrieren).

31.08.2011, 16:06

Gast11022013

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Javun

2. $\begin{eqnarray*} y^{'} =(x+4y)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{'} = x^{2} + 4xy + 16y^{2} \end{eqnarray*}$

Das ist nicht ganz richtig.

31.08.2011, 16:12

René Gruber

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Bei 2.) führt die Substitution $\begin{eqnarray*} z = x+4y \end{eqnarray*}$ auf eine DGL, für die Trennung der Variablen möglich ist. Noch günstiger ist $\begin{eqnarray*} z=2(x+4y) \end{eqnarray*}$ , was am Anfang aber schlecht erkennbar ist. Augenzwinkern

31.08.2011, 16:48

Javun

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Erstmal zu 1.

$\begin{eqnarray*} z = y^{'} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^{'} = \sqrt{zx} =\sqrt{z} \cdot \sqrt{x} =\frac{dz}{dx} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dz\cdot \frac{1}{\sqrt{z} } = dx\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{z})=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{z}= e^{\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{2} } n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=\frac{4}{9} x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

31.08.2011, 16:54

René Gruber

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Zitat:

Original von Javun
$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{z})=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Falsch integriert, sowohl links als auch rechts. unglücklich

31.08.2011, 17:01

Javun

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Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von Javun
$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{z})=\frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Falsch integriert, sowohl links als auch rechts. unglücklich

Upps mein Fehler, also...:

$\begin{eqnarray*} 2x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Aber warum ist links falsch integriert?

31.08.2011, 17:07

Gast11022013

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Da ich auch an der Lösung interessiert bin, steuere ich mal was bei:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{z}} dz=2\sqrt{z} \end{eqnarray*}$ (linke Seite)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ (rechte Seite)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow z=\frac{1}{9}x^3 \end{eqnarray*}$

Dann integrieren und Du hast die Lösung, die ich jetzt mal nicht aufschreibe, da ich Dir die Übungsaufgabe nicht wegnehmen möchte. Augenzwinkern

31.08.2011, 17:31

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{z}} dz=2\sqrt{z} \end{eqnarray*}$ (linke Seite)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ (rechte Seite)

Bei der Gleichsetzung bitte nicht die zunächst notwendige Integrationskonstante vergessen!

31.08.2011, 17:37

Gast11022013

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1.) habe ich jetzt für mich gelöst.

Nun würde ich gerne auch noch 2.) versuchen.

Da finde ich die Substitution irgendwie ein bisschen störend, naja:

Du sagtest, eine Option sei hier $\begin{eqnarray*} z:=x+4y \end{eqnarray*}$ zu setzen.

Dann bin ich bei:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)'=z^2 \end{eqnarray*}$ .

Korrekt? Wie gehts nun weiter?

Ich sehe gerade nicht, wie man jetzt "Trennung der Veränderlichen" anwenden kann.

verwirrt

31.08.2011, 17:38

René Gruber

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Wie wäre es denn einfach mal mit einer Vereinfachung (Ausrechnen) von $\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)' \end{eqnarray*}$ ?

31.08.2011, 17:43

Gast11022013

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Nach x ableiten liefert: -1/4.

Also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}=z^2 \end{eqnarray*}$

Oder muss ich das nach z ableiten, dann käme 1/4 heraus?

31.08.2011, 17:45

René Gruber

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Schlimme Aussetzer, wieder mal ... Es wird hier nach x abgeleitet, es ist dann

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)' = \frac{z'-x'}{4} = \frac{z'-1}{4} \end{eqnarray*}$ .

31.08.2011, 17:54

Gast11022013

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Ich komme dann auf

$\begin{eqnarray*} z'=4z^4+\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Wieder ein Aussetzer?

Edit: Ah!

Ich meine $\begin{eqnarray*} z'=4z^2+1 \end{eqnarray*}$ .

31.08.2011, 17:56

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} \frac{z'-1}{4} = z^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' = 4z^2+1 \end{eqnarray*}$

31.08.2011, 17:59

Gast11022013

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Ja, hatte das gerade schon verbessert, war aber zu langsam.

Bevor ich jetzt noch wieder was ganz Schlimmes hier veranstalte:

Wie lässt sich darauf jetzt Trennung der Veränderlichen anwenden?

Vielleicht hast Du ja noch Lust, es anzudeuten.

31.08.2011, 18:06

Javun

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Ok, also Aufgabe 1 habe ich dank eurer Hilfe nun gelöst bekommen und auch verstanden, außer das ich nicht weiß, warum

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{z} } \, dz=2\sqrt{z} + C \end{eqnarray*}$

ist?!

Zu Aufgabe 2.:
$\begin{eqnarray*} y^{'} =(x+4y)^{2} \end{eqnarray*}$
lt. deinem Ansatz $\begin{eqnarray*} z=x+4y \end{eqnarray*}$ ergibt das

$\begin{eqnarray*} y^{'} =(z)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dz}=z^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1dy= z^{2}dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! 1 \, dy = \int \! z^{2} \, dz \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \frac{1}{3}z^{3}+C \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich 1. auch nicht weiter und 2. hat das nix mit der Lösung von Dennis gemeinsam. Wo liegt hier mein Denkfehler?!

31.08.2011, 18:09

René Gruber

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@Dennis2010

Da in dieser DGL überhaupt kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mehr auftaucht, sollte es auch kein Problem bei der Trennung geben!!!

$\begin{eqnarray*} \int \frac{\dd z}{4z^2+1} = \int \dd x \end{eqnarray*}$

@Javun

Vielleicht bringst du dich erstmal auf den letzten Stand...

31.08.2011, 18:14

Javun

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Zitat:

Original von René Gruber

@Javun

Vielleicht bringst du dich erstmal auf den letzten Stand...

Hab mir alle Beiträge durchgelesen. Nur verstehe ich nicht, wie Dennis überhaupt auf
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)'=z^2 \end{eqnarray*}$
kommt.

Wo ist hier mein Denkfehler?

31.08.2011, 18:18

Gast11022013

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Das war ja echt wieder saublöd von mir.

Na, klar, dann setzt man die Funktion, die nur von x abhängen soll eben =1.

Naja, vielen lieben Dank!

Als (etwas längliche) Lösung habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{-(2x\cos(2x)-\sin(2x))}{8\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen bestätigt, daß dies eine Lösung ist.

31.08.2011, 18:22

Javun

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Zitat:

Original von Dennis2010
Das war ja echt wieder saublöd von mir.

Na, klar, dann setzt man die Funktion, die nur von x abhängen soll eben =1.

Naja, vielen lieben Dank!

Als (etwas längliche) Lösung habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} y(t)=\frac{-(2x\cos(2x)-\sin(2x))}{8\cos(2x)} \end{eqnarray*}$ .

Einsetzen bestätigt, daß dies eine Lösung ist.

Und wo ist Dein C ?
y(0)=0 ist die Bedingung.

31.08.2011, 18:25

Gast11022013

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Achso, wieder vergessen.

Und daß es ein AWP ist, hattest Du ja nicht geschrieben, aber ist ja auch kein Problem eigentlich.

31.08.2011, 18:36

Gast11022013

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Also, wenn ich mich nicht verrechnet habe,, so hat man dann

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{-(2x\cos(2x+2C)-\sin(2x+2C))}{8\cos(2x+2C)} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} y(0)=\frac{\tan(2C)}{8}=0\Leftrightarrow C=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

31.08.2011, 18:47

Javun

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Ich hab ein grundsätzliches Problem mit der Aufgabe. Ich verstehe einfach nicht, warum wir so vorgehen...

Substituieren mit z=x+4y
Nach y umstellen
y ableiten
y' durch z² ersetzen und nach z' umstellen
z' integrieren

Ich weiß 1. nicht, wie es jetzt weitergehen soll und 2. verstehe ich nicht, warum wir das alles machen...

31.08.2011, 18:57

Gast11022013

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Zitat:

Original von Javun
Hab mir alle Beiträge durchgelesen. Nur verstehe ich nicht, wie Dennis überhaupt auf
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)'=z^2 \end{eqnarray*}$
kommt.

Wo ist hier mein Denkfehler?

Du hast die Gleichung $\begin{eqnarray*} y'=(x+4y)^2 \end{eqnarray*}$ vorliegen und setzt nun $\begin{eqnarray*} z:=x+4y \end{eqnarray*}$ . Eingesetzt in die Gleichung ist das schonmal

$\begin{eqnarray*} y'=z^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun musst Du ja aber y auch noch anpassen an die Substitution:

$\begin{eqnarray*} z=x+4y \end{eqnarray*}$ nach y umformen, das ergibt $\begin{eqnarray*} y=\frac{z-x}{4} \end{eqnarray*}$ .

Nun setzt Du also in die Gleichung dieses Resultat für y ein und hast

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{z-x}{4}\right)=z^2 \end{eqnarray*}$

Das alles macht man, damit man "Trennung der Variablen" durchführen kann. Substituieren ist hier einfach ein Weg, um diese Methode anwenden zu können.

31.08.2011, 19:48

Javun

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Danke für die ausführliche Erklärung.

Kannst Du mir auch noch sagen, warum
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{z} } \, dz=2\sqrt{z} + C \end{eqnarray*}$
ist?

In meinem Mathe Buch und in der Formelsammlung steht nämlich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{x } \, dz=ln(x) + C \end{eqnarray*}$

In unserem Fall also

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{z} } \, dz=ln(\sqrt{z}) + C \end{eqnarray*}$

01.09.2011, 00:38

Gast11022013

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Ja, klar. Mache ich gerne.

Das, was in dem Mathebuch steht, stimmt natürlich auch, aber das kannst Du nicht einfach so auf dieses Beispiel anwenden, denn:

Du musst bedenken bzw. kannst schreiben $\begin{eqnarray*} \sqrt{z}=z^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und weiter gilt also damit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{z}}=\frac{1}{z^{\frac{1}{2}}}=z^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

So und nun integriere das mal ganz normal (Exponenten um 1 addieren, also von $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und Faktor 2 davor). Dann hast Du:

$\begin{eqnarray*} 2z^{\frac{1}{2}}=2\sqrt{z}+const. \end{eqnarray*}$ , also gerade das, was oben steht.

Wink

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