Tiefpunkt finden.

31.08.2011, 16:19

Kathete

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Tiefpunkt finden.

Hallo!

Wir haben den Term:

((t^2 + k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5) + ((t^2 - k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5)

k ist eine Konstante.
Jetzt soll ich begründen für welches t ich ein Minimum habe und beweisen warum.

Ich habe schon rausgefunden dass für t=0 dass Minimum erreicht ist.
Ich kann aber nicht begründen warum, ich habe auch keinen Ansatz wie ich das lösen kann, über die 1. Ableitung wird man auch nicht schlauer...

Vielen Dank schoneinmal im Vorraus.

31.08.2011, 16:35

René Gruber

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$\begin{eqnarray*} f(t) = \sqrt{t^2+kt+k+0.25k^2} + \sqrt{t^2-kt+k+0.25k^2} \end{eqnarray*}$

Ich sehe da folgende Möglichkeiten:

1) Du kämpfst dich durch die Berechnung der 2.Ableitung, und zeigst $\begin{eqnarray*} f''(0)>0 \end{eqnarray*}$ .

2) Du zeigst $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} f'(t)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ .

3) Du suchst einen völlig anderen Minimumbeweis. Da sehe ich aber ziemlich schwarz mit den in der Schule gelehrten Mitteln, denn die dazu z.B. hervorragend geeignete Jensensche Ungleichung dürfte nicht Bestandteil des Lehrplans sein.

31.08.2011, 18:36

Kathete

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Danke für die Antwort!

Ich hab wohl geschlafen, mann kann doch recht leicht zeigen dass für t=0 die erste Ableitung =0 ist.
Durch die 2.Ableitung will ich mich eigentlich nicht kämpfen und $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} f'(t)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ . ist auch nicht leicht, bzw. nicht erkennbar.

Kann man irgendwie durch Worte argumentieren, dass es sich um ein Minimum handelt(also kein Sattelpunkt/Maxima) und dass es keine Weiteren Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} f'(t)=0 \end{eqnarray*}$ gibt?

31.08.2011, 21:09

Kathete

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....*edit*

01.09.2011, 03:08

Kathete

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Noch eine kurze Frage, was ist denn die maximale Nullstellenanzahl einer beliebigen Wurzelfunktion verwirrt

verwirrt

Bzw. in diesem Fall die Ableitung von genannter Funktion)

01.09.2011, 09:55

René Gruber

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Zitat:

Original von Kathete
was ist denn die maximale Nullstellenanzahl einer beliebigen Wurzelfunktion?

Da gibt es keine Beschränkungen, wenn man keine Einschränkungen (so deute ich mal dein "beliebig") hinsichtlich der Komplexität der Radikandenfunktion macht. unglücklich

unglücklich

Ich würde dir übrigens von den obigen Alternativen Weg 2) empfehlen, das macht noch den geringsten Aufwand. Deinem diesbezüglichen

Zitat:

Original von Kathete
und $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} f'(t)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ . ist auch nicht leicht, bzw. nicht erkennbar.

widerspreche ich daher entschieden: Richtig organisiert ist dieser Nachweis kaum aufwändiger als die Nullstellenbestimmung der ersten Ableitung - es sind nämlich im wesentlichen dieselben Umformungen!!!

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01.09.2011, 11:26

Kathete

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Entschuldigung Rene leider sehe ich es nicht unglücklich

unglücklich

.

Wenn ich ein t ungleich 0 einsetze so fällt für die Wurzeln im Nennen der von t abhängige Teil nicht raus, deswegen sind die Nennen verschieden und ich komme nicht weiter.

01.09.2011, 11:44

René Gruber

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In dem Fall hast du die Nullstelle also nicht durch Rechnung, sondern durch Raten ermittelt? Was auch bedeutet, dass du dir gar nicht sicher sein kannst, dass es nicht weitere Nullstellen gibt! Das habe ich natürlich nicht gewusst...

01.09.2011, 11:49

Kathete

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Nein ich habe sie berechnet, aber man hat die Summe von zwei Brüchen und in beiden Nennern ist ein Wurzelterm.
Für t=0 werden die Nenner identisch und die Summe der Zähler wird zu 0.
Für beliebige t sehe ich das allerdings sehr problematisch.

01.09.2011, 12:53

René Gruber

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Das ist Raten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2011, 13:22

Kathete

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Ha! Okay

smile

Zumindest ist eindeutig gezeigt dass f'(0)=0 ,
aber dass Problem ist nicht einfach lösbar,oder?

01.09.2011, 13:25

René Gruber

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Zitat:

Original von Kathete
aber dass Problem ist nicht einfach lösbar,oder?

Doch, ist es: $\begin{eqnarray*} f'(t)=0 \end{eqnarray*}$ setzen und geduldig äquivalent umformen - so wie man das eben bei einer Gleichungslösung tut. Da setzt man ja auch nicht aufs Geratewohl irgendwelche Zahlen ein und gibt sich damit zufrieden, wenn man eine Lösung gefunden hat.

Völlig analog geht man bei der Umformung von $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} f'(t)<0 \end{eqnarray*}$ vor, selbstverständlich unter besonderer Beachtung dessen, wie sich so ein Relationszeichen bei den diversen Umformungsschritten verhält.

01.09.2011, 13:35

Kathete

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Hmm, das habe ich ja probiert, über Äuivalentumformungen kommt man nicht zum Ziel.
Ich habe zum Beispiel Auch probiert die beiden Summanden Nennergleich zu machen, nach der Addiion kann man den Nennen rausschmeißen, das Wurzelwirrwar wird man aber nicht los und damit bekommt man auch keine Lösung für t.

01.09.2011, 13:45

René Gruber

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Zitat:

Original von Kathete
Hmm, das habe ich ja probiert, über Äuivalentumformungen kommt man nicht zum Ziel.

Das ist einfach nicht wahr, allenfalls "kommst du nicht zum Ziel".

Schreib doch mal deine Schritte auf, dann werden wir sehen.

01.09.2011, 13:58

Kathete

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1.Ableitung: f'(t)=
( (2t+k) / (2*(t^2 + k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5) +
( (2t-k) / (2*(t^2 - k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5)

0 setzen...

(2t-k)( (2*(t^2 + k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5)) =(2t+k)(2*(t^2 - k*t +k +0.25(k)^2 )^0.5)

und jetzt kann man machen was man will, an t kommt man nicht dran.

01.09.2011, 14:02

René Gruber

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Schon wieder dieses unzutreffende "man", bitte schreibe doch "ich", wenn du sowas erzählst. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Die Ableitung hast du richtig berechnet, ich stell sie nur nochmal etwas lesbarer dar:

$\begin{eqnarray*} f'(t) = \frac{2t+k}{2\sqrt{t^2+kt+k+0.25k^2}} + \frac{2t-k}{2\sqrt{t^2-kt+k+0.25k^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man untersuchen, für welche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} f'(t) \lesseqgtr 0 \end{eqnarray*}$ (3 Fälle) gilt. Ich nehme außerdem an, dass $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bei dir als positiv vorausgesetzt ist (oder?). Fangen wir mit $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ an, da ergeben äquivalente Umformungen

$\begin{eqnarray*} \frac{2t+k}{2\sqrt{t^2+kt+k+0.25k^2}} > \frac{k-2t}{2\sqrt{t^2-kt+k+0.25k^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2t+k)\sqrt{t^2-kt+k+0.25k^2} > (k-2t)\sqrt{t^2+kt+k+0.25k^2} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} t>\frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ ist das sicher richtig (links positiv, rechts negativ), für $\begin{eqnarray*} t<-\frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ sicher falsch (links negativ, rechts positiv). Für alle anderen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |t| \leq \frac{k}{2} \end{eqnarray*}$ , stehen auf beiden Seiten positive Zahlen und wir dürfen (als äquivalente Umformung) quadrieren:

$\begin{eqnarray*} (4t^2+4tk+k^2)(t^2-kt+k+0.25k^2) > (4t^2-4tk+k^2)(t^2+kt+k+0.25k^2) \end{eqnarray*}$ , zusammengefasst ergibt das

$\begin{eqnarray*} 8k^2t > 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h., es gilt genau dann $\begin{eqnarray*} f'(t)>0 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ ist. In analoger Weise bekommt man $\begin{eqnarray*} f'(t)<0 \end{eqnarray*}$ genau für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} f'(t)=0 \end{eqnarray*}$ genau für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ .

01.09.2011, 14:11

Kathete

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Wow, genial!

Ich bedanke mich bei dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.09.2011, 14:14

René Gruber

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Nix genial, einfach nur schnöde Arbeit mit den Formeln, zu der du leider nicht bereit warst.

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