Allgemeine Entwicklung eines Polynoms mithilfe des Summenzeichens

31.08.2011, 17:55	Deadbeef	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Entwicklung eines Polynoms mithilfe des Summenzeichens Meine Frage: $\begin{eqnarray} p(x) = \sum\limits_{j=0}^n a_{j}x^{j} = \sum\limits_{j=0}^n a_{j}(x - \lambda + \lambda )^{j} = \sum\limits_{j=0}^n a_{j} \sum\limits_{l=0}^j \begin{pmatrix} j \\ l \end{pmatrix} \lambda ^{j-l}(x - \lambda )^{l} \end{eqnarray}$ Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} j \\ l \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 \leq j < l \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x) = \sum\limits_{j=0}^n \sum\limits_{l=0}^n a_{j} \begin{pmatrix} j \\ l \end{pmatrix} \lambda ^{j-l}(x - \lambda )^{l} = \sum\limits_{l=0}^n \left(\sum\limits_{j=0}^n a_{j} \begin{pmatrix} j \\ l \end{pmatrix} \lambda ^{j-l}\right) (x - \lambda )^{l} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe Probleme das Ganze von der Notation her zu verstehen. Anwenden kann ich es. Bis zum Schritt der Nullsummen-Addition ist es mir natürlich noch klar, danach hört es schon auf. Gibt es jemanden der mir kurz erklären kann, wie hier mit dem Summenzeichen gerechnet wurde? Vielen Dank im Voraus.
31.08.2011, 18:24	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben: Wie schon gesagt, Nulsummenspielerei. Danach die Anwendung des großen Binomischen Lehrsatzes auf das, was in der Klammer steht. Der Laufindex davon kann mit dem, was bei "Weiterhin gilt" steht, so verändert werden, dass seine obere Summationsgrenze von j (was ja wiederum nur Laufindex ist) zu n gemacht werden, da dür alle hinzukommenden Summanden der enthaltene Binomialkoeffizient 0 ist und damit auch der Wert der Summe gleich bleibt. Unten: die erste Schreibweise ist das eben beschriebene, blos ein bisschen umsortiert.Danach wurde aus dem Teil, für den man den Laufindex j braucht, eine "innere" summe gebildet. Ich hoff, ich habs einigermaßen verständlich erklärt.

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