IR² mit komponentenweiser Addition, Multiplikation kein Körper

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
IR² mit komponentenweiser Addition, Multiplikation kein Körper
Hallo,

ich möchte nachweisen, dass mit folgenden Verknüpfungen keinen Körper bildet:



Ich könnte natürlich alle Axiome durchgehen...

Allerdings:
Dabei stelle ich schon vorher fest, dass Nullteilerfreiheit nicht gegeben ist:


Die Nullteilerfreiheit baut ja auf Inversenbildung auf:
Hier könnte man zeigen, dass nicht alle von Null (additiv neutrales Element = ) verschiedenen Elemente ein multiplikativ Inverses haben:

oder mit haben kein Inverses.

Reicht das als Erklärung ?

Vielen Dank
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das reicht. Vorher stellen wir noch fest, dass das neutrale Element bzgl. ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: IR² mit komponentenweiser Addition, Multiplikation kein Körper
Jo, du bist damit schon fertig.

Statt würde ich aber eher schreiben.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »
RE: IR² mit komponentenweiser Addition, Multiplikation kein Körper
Zitat:
Original von Pascal95
Hier könnte man zeigen, dass nicht alle von Null (additiv neutrales Element = ) verschiedenen Elemente ein multiplikativ Inverses haben:

oder mit haben kein Inverses.


Das erinnert mich ein wenig an den Anfang dieses Semesters, als es in meiner LA1-Übungsgruppe eine Aufgabe gab, in der für einen beliebigen Ring untersucht werden sollte, ob (mit den komponentenweisen Verknüpfungen) ein Ring/Körper/... ist.
Da kam dann ganz oft das Argument, dass ein Element mit "möglicherweise kein Inverses" hat, weil ja und möglicherweise keine Inversen haben. Ein Teil der Leute, die so argumentiert haben, haben sich dann noch eingeredet, wenn man einen Körper nimmt, ist auch ein Körper.

Dabei hat man für jeden Ring mit 1 in dem Paar ein Gegenbeispiel, da die Nullteilerfreiheit verletzt ist.

Es scheint aber ein generelles Problem zu sein, dass die Leute vor Gegenbeispielen zurückschrecken und stattdessen nebulöse Formulierungen à la "hat möglicherweise kein Inverses", "in dem Fall kann diese Folgerung nicht gemacht werden" u.Ä. verwenden.

Entschuldigt bitte, falls das jetzt zu sehr off-topic war, aber vielleicht ist es ja für den ein oder anderen ganz interessant.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da das Thema ja scheinbar hinreichend gut beantwortet wurde, erlaube ich mir mal auf deinen Beitrag einzugehen, jester.

Genau die selbe Beobachtung habe ich auch immer wieder gemacht und ich finde es gerade ganz nett, dass ich nicht alleine dastehe.

Noch fataler kommt mir das manchmal vor, wenn nachzuprüfen ist, ob eine Funktion injektiv ist oder eine Teilmenge ein Untervektorraum ist. Statt mir einfach zwei verschiedene Punkte zu nennen, die das selbe Bild haben oder einfach 2 Elemente zu nennen, deren Summe nicht mehr in der Menge ist, wird sehr oft um den heißen Brei herumgeredet.

Ich glaube viele Leute denken, so ein einzelnes Gegenbeispiel wäre einfach zu banal und das wird doch der großen mächtigen Mathematik nicht gerecht, die sie gerade mit ihrer Komplexität so sehr erschlägt.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es freut mich sehr, dass ich so viele Antworten erhalten habe.

Zu der zusätzlichen Anmerkung:

Es ist gar nicht so lange her, als ich mir erst klar gemacht habe, dass wirklich ein einziges Gegenbeispiel für eine Behauptung reicht, um sie zu falsifizieren.

Ich denke, dass es mir aber trotzdem klar geworden ist - das mit und hätte es vielleicht nicht gebraucht...

Also : ist die Behauptung und man zeigt ein .

Aber hier reicht ja wirklich das einfache Gegenbeispiel zu nennen: hat kein Inverses, obwohl es nicht dem Nullelement (der Addition) () entspricht.
Dass zwei Tupel gleich und nur gleich sind, wenn jede Komponente gleich ist (also insbesondere die Tupellänge), muss man hier ja nicht mehr erwähnen.

Wäre nämlich mit das Inverse von o.g. Element, so müsste , aber .

Hoffentlich habe ich mich hier auf das wesentliche beschränkt Augenzwinkern
 
 
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