Unterschied einer Homologie über einen Körper

31.08.2011, 21:58	TobeStar81	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied einer Homologie über einen Körper Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich jetzt eine ganze Zeit mit Homologie und hätte da mal eine Frage: Gibt es wesentliche Unterschiede, wenn ich die Homologie von einem Raum nicht über einen Ring (z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ), sondern über einen Körper (z.B. $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ) betrachte? Ich denke doch, dass die Berechnung in beiden Fällen gleich verläuft, oder? Ein Unterschied ist doch (meiner Meinung nach) z.B. der Zusammenhang zwischen der ersten Fundamentalgruppe und der ersten Homologiegruppe. So ist $\begin{eqnarray} H_1(X,\mathbb{Z})\cong \pi_1(X)^{ab} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \pi_1(X)^{ab} \end{eqnarray}$ die Abelisierung der ersten Fundamentalgruppe ist (nebenbei: gibt es eigentlich denselben Zusammenhang zwischen der n-ten Homologie- und der n-ten Fundamentalgruppe/Homologiegruppe?). So habe ich z.B. für den Torus $\begin{eqnarray} \pi_1(T^2)=\mathbb{Z}^2 \end{eqnarray}$ , jedoch für $\begin{eqnarray} H_1(T^2,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}^2 \end{eqnarray}$ , welche nicht isomorph sind ( $\begin{eqnarray} H_1(T^2,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}^2 \end{eqnarray}$ habe ich nicht einzeln nachgerechnet, sehe aber nicht, wo sich die Berechnung ändern sollte). Gruß Tobias Meine Ideen: keine weiteren Ansätze

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