Hypothesentest (Nullhypothese aufstellen)

01.09.2011, 10:16

koiler

Hypothesentest (Nullhypothese aufstellen)

Meine Frage:
Hallo,
leider habe ich mit dem Thema Hypothesentest noch nie beschäftigt, brauche es für eine Studienarbeit aber.

Es geht um eine zerstörende Prüfung.
Im Rahmen einer Messsystemanalyse muss ich einige Proben mehrmals (4mal) prüfen. Dies ist aufgrund der zerstörenden Prüfung jedoch nicht möglich.
Meine Annahme lautet:
"4 Proben, die direkt hintereinander gezogen werden sind gleich"
Somit kann ich die Messmittelalalyse durchführen.

Mein Prof will die Annahme mittels Hypothesentest überprüft haben.

Meine Ideen:
Bei mir hängt es jetzt aber schon daran die Nullhypothese aufzustellen.

Gegelteil der Behauptung:
Alle Proben sind ungleich

Das wäre dann eine zweiseitige Hypothese
aber wie formulier ich das mathematisch?

01.09.2011, 15:18

koiler

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Sry für Doppelpost (macht bestimmt nen guten Eindruck als Einstieg), obiger Beitrag lässt sich nicht bearbeiten.

Ich habe in der Zwischenzeit mich weiter an dem Thema versucht, komme dennoch auf keinen Ansatz! unglücklich

Ich finde nur Beispiele wie "mindestens 70%" ( --> H0: p<0,7; H1: p>=0,7)).
Das kapier ich ja.. Aber in meinem Fall hab ich gar keine Idee, wie ich auf H0 komme!

Ich versuchs auch mal auch mit mehr Input:

Ich schneide Proben aus einer Warenbahn aus. Position ist Links, Mitte und Rechts.

An jeder Position ziehe ich 12 Proben hintereinander. 4 hintereinander liegende Proben werden als gleich angesehen. Es gibt folglich 3 4er-Gruppen je Position. Alle 4er Gruppen können untereinander verschiedene Werte haben, müssen aber nicht.

Insgesamt habe ich also 9 4er Gruppen, die jeweils aus "gleichen" Proben bestehen sollen, untereinander jedoch variieren können.

Wie kann ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% sagen, dass die Annahme, dass die 4 Werte gleich sind, stimmt?

Funktioniert das überhaupt mit 4 Werten? verwirrt

Oder muss ich vorher eine Versuchsreihe mit beispielsweise 20 Proben hintereinander machen und anhand diesen Werten den Hypothesentest durchführen?

Bitte erbarmt euch, ich hänge fest... Gott

(Und nachdem ich im "Ärger-Thread" rumgelesen hab, versprech ich euch, dass ich Klammern nutze, nicht wortlos verschwinde und mich auch voller Ehrfurcht bedanke. Big Laugh

)

02.09.2011, 08:09

koiler

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Zitat:

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Bin ich in der falschen Rubrik, oder zu drängelnd, oder wieso reagiert niemand?

Ist ja nicht so, dass ich ne detaillierte Komplettlösung möchte. Der Ansatz reicht mir. Vorerst. smile

lg

koiler

02.09.2011, 12:57

Huggy

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Zitat:

Original von koiler
Bin ich in der falschen Rubrik, oder zu drängelnd, oder wieso reagiert niemand?

Viele Mathematiker lieben keine Probleme aus der realen Welt!

Bevor man an die Mathematik geht, muss man den Sachverhalt erst mal klären. Wenn du die Hypothese testen sollst, dass die 4 Probenwerte gleich sind, gehe ich mal davon aus, dass die 4 Messwerte im allgemeinen nicht gleich sind, weil das Messverfahren selbst eine Streuung hat. Ist das richtig?

Wenn das richtig ist, könnte man die Hypothese so formulieren, dass die Streuung $\begin{eqnarray*} \sigma_w^2 \end{eqnarray*}$ der wahren Probenwerte klein ist gegenüber der Streuung $\begin{eqnarray*} \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ des Messverfahrens. Die Gesamtstreung $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ müsste dann praktisch identisch mit $\begin{eqnarray*} \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ sein. Dann hätte man folgende mathematische Formulierung:

$\begin{eqnarray*} H_0: \quad \sigma^2=\sigma_m^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1: \quad \sigma^2>\sigma_m^2 \end{eqnarray*}$

Dies an einer einzelnen 4er-Stichprobe zu testen ist zwar möglich, aber kaum aussagekräftig. Man wird dazu vernünftigerweise eine größere Anzahl 4er-Stichproben heranziehen.

Dieser Vorschlag setzt natürlich voraus, dass $\begin{eqnarray*} \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ bekannt ist. Wenn du aber eine Messsystemamalyse machen willst, ist zu befürchten, dass du $\begin{eqnarray*} \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ erst bestimmen willst. Und dann beißt sich die Sache in Schwanz.

05.09.2011, 15:16

koiler

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Vielen Dank für deine Antwort, Huggy!
Das reale Problem mathematisch zu fassen finde ich mehr als schwierig!

Zum Sachverhalt:
Die Proben werden als gleich angenommen um den Einfluss der Prüfer zu ermitteln.
Die Varianz des Messverfahrens an sich (Streuung einer Stichprobe mit n=25) $\begin{eqnarray*} s_{m}^{^2} \end{eqnarray*}$ (ich bezeichne es ab hier mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ bezieht sich auf die Stichprobe, $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ auf die gesamte Population) habe ich in Vorversuchen ermittelt, $\begin{eqnarray*} s_{m}^{^2}=9,6\cdot 10^{-5} \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz wäre, dass ich jetzt in einem seperaten Versuch 28 Messungen hintereinander durchführe und 7 4er Gruppen daraus mache.
Wie du bereits vorgeschlagen hast, nehme ich dann an, dass $\begin{eqnarray*} s_{w}^{^2} \end{eqnarray*}$ klein gegenüber $\begin{eqnarray*} s_{m}^{^2} \end{eqnarray*}$ ist. Ich lege den Wert $\begin{eqnarray*} \leq 10% \end{eqnarray*}$ fest.

Die jeweilige Gesamtvarianz $\begin{eqnarray*} s{^2} \end{eqnarray*}$ der 7 Gruppen muss demnach in dem Bereich $\begin{eqnarray*} s_{m}^2=9,6\cdot 10^{-5} < s^2 \leq (9,6\cdot 10^{-5})\cdot(1,1) \end{eqnarray*}$ liegen.

Somit wäre die Nullhypothese, die bestätigt werden soll, ähnlich wie du bereits geschrieben hast:

$\begin{eqnarray*} H_0: s^2 \leq (9,6\cdot 10^{-5})\cdot(1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1: s^2 > (9,6\cdot 10^{-5})\cdot (1,1) \end{eqnarray*}$

( Anmerkung: Der Fall $\begin{eqnarray*} s^2 < 9,6 \cdot 10^{-5} \end{eqnarray*}$ kann jedoch auch vorkommen, wenn die gegebene Varianz des Messverfahrens zufällig teilweise durch die Varianz der Messung kompensiert wurde. Ich ignorier das jetzt aber, weil ich nicht weiß, wie man das überhaupt bemerken sollte/könnte.)

In diesem Fall handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest.
Laut "Rezept" geht es weiter, dass ich das Signifikanzniveau festlege (ich nehm 5%) und den Annahme- und Ablehnungsbereich bestimme...

Die Laplace-Bedingung $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{n\cdot p(1-p)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma>3 \end{eqnarray*}$ ist jedoch nicht erfüllt. ich bräuchte 85155 Proben, damit dies gilt!

Und dieses Sigma brauche ich dann zum Berechnen der Bereiche?

Wesentlich mehr als 10 4er Proben zu nehmen geht aber wohl kaum. Der Aufwand ist dafür zu groß.

Den halben Tag kämpfe ich damit, komme aber kaum weiter.. unglücklich

Hat jemand ne Idee?

mfg koiler

05.09.2011, 17:41

Huggy

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Auch wenn Benennungen nicht das Wichtigste sind, müssen wir uns doch darüber einigen, damit es keine Missverständnisse gibt. Die von dir ermittelte Varianz des Messverfahrens von $\begin{eqnarray*} 9.6 \cdot 10^{-5} \end{eqnarray*}$ entstammt zwar einer Stichprobe, aber du willst doch im weiteren so tun, als sei damit die Populationsvarianz des Messverfahrens genügend genau bekannt, denn die wird ja in der Rechnug benötigt. Also sollte man diesen Wert auch $\begin{eqnarray*} \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ nennen.

Deine Hypothese ist nun $\begin{eqnarray*} \sigma_w^2 \leq 0.1 \sigma_m^2 \end{eqnarray*}$ . Für die Gesamtvarianz gilt dann

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = \sigma_m^2 + \sigma_w^2 \leq 1.1 \cdot 9.6 \cdot 10^{-6}=\sigma_0^2 \end{eqnarray*}$

Wenn die Populationen normalverteilt sind, dann sind die empirischen Varianzen von Stichproben aus ihnen nach Normierung $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ verteilt. Genauer gesagt, bei einer Stichprobe vom Umfang n gehorcht die Testgröße

$\begin{eqnarray*} \chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2} \end{eqnarray*}$

einer $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ -Verteilung mit n -1 Freiheitsgraden. Dabei ist $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ die empirische Varianz der Stichprobe und $\begin{eqnarray*} \sigma_0^2 \end{eqnarray*}$ die Populationsvarianz. Wenn du 4er-Stichproben hast, wäre n - 1 = 3.

Nun hast du mehrere 4er-Stichproben. Da gibt es den hilfreichen Satz, dass eine Summe $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ verteilter Größen wieder $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ verteilt ist, wobei sich die Freiheitsgrade addieren. Wenn man also m Stichproben vom Umfang 4 hat mit den Testgrößen $\begin{eqnarray*} \chi_i^2 \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} \chi^2=\sum_{i=1}^m \chi_i^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ verteilt mit 3m Freiheitsgraden. Diese Testgröße musst du bestimmen. Hast du ein Signifikanzniveau von z. B. 5 % gewählt, dann ist die Testgröße mit $\begin{eqnarray*} \chi_{3m;0.95}^2 \end{eqnarray*}$ zu vergleichen. Das ist die Stelle, an der die $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ -Verteilung mit 3m Freiheitsgraden den Wert 0.95 hat. Ist die Testgröße größer, wird die Nullhypothese auf diesem Signifikanzniveau abgelehnt, ansonsten wird sie nicht abgelehnt.

Noch eine Warnung: Nicht-Ablehnung bedeutet keine positive Bestätigung der Nullhypothese!

27.09.2011, 13:07

koiler

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Hallo Huggy,

endlich habe ich eine größere Stichprobe nehmen können und es hat sich herausgestellt, dass die als gleich anzunehmenden Werte um 20% variieren!

Somit ist der gesamte Hypothesentest hinfällig. böse

In wie weit eine Messsystemanalyse überhaupt möglich ist, muss ich noch herausfinden.

Ich wollte mich mit diesem Beitrag vor allem für deine umfangreiche Hilfe bedanken! Freude

Mit freundlichem Gruß

koiler

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