Basisergänzung 4-dimens. vektorraum

21.12.2006, 14:18	bodensee14	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisergänzung 4-dimens. vektorraum ich habe folgende aufgabe: gegeben sind 3 vektoren: v1(1,2,0,0), v2(2,5,1,0) und v3(3,5,0,1). man soll nun einen vierten vektor bestimmen, der senkrecht zu allen anderen vektoren steht. von diesem vektor ist schon der letzte wert 1 bekannt: v4(?,?,?,1). wie gehe ich nun vor? normalerweise bekommt man einen zu zwei vektoren senkrechten vektor, indem man das kreuzprodukt anwendet. aber geht das auc h im 4-dimensionalen vektorraum? und was bekomme ich dann als ergebnis? vielen dank im voraus
21.12.2006, 14:36	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisergänzung 4-dimens. vektorraum Du hast noch 3 unbekannte Einträge, und mit den 3 Vektoren, auf denen er senkrecht stehen soll wohl 3 Bedingugen. Da müsste doch was gehen, oder
21.12.2006, 14:40	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisergänzung 4-dimens. vektorraum Die Idee sollte sein, einfach einen Vektor v4 zu finden, der von {v1,v2,v3} unabhängig ist, es also keine reellen Zahlen a,b,c geben kann, so dass v4=a v1+ b v2 + c v3 gilt. Natürlich gibt es dafür viele Lösungen, auch unter der Vorgabe, dass die letzte Komponente 1 ist. Versuch doch mal auf diesem Weg ein solches v4 zu bestimmen! (Eine Möglichkeit wäre beispielsweise (3,12,0,1). Dies sieht man, wenn man a=b=c=1 hat, dann stimmen nämlich die beiden ersten und die letzte Gleichung, nicht aber die Dritte des Systems!)
21.12.2006, 14:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisergänzung 4-dimens. vektorraum Und wo hast Du da berücksichtigt, dass er neben der linaren unabhängigkeit auch senkrecht auf den 3 anderen Vektore stehen soll?
21.12.2006, 14:48	bodensee14	Auf diesen Beitrag antworten »
ja und wie löse ich das? ich brauche mal einen ansatz
21.12.2006, 14:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie berechnet man denn, ob 2 Vektoren senkrecht sind? mit dem Skalarpodukt. Nehmen wir also das Standardskalarprodukt: $\begin{eqnarray} <v_1,v_4> = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <v_2,v_4> =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <v_3,v_4>=0 \end{eqnarray}$ Ausgeschrieben: $\begin{eqnarray} (1,2,0,0) \begin{pmatrix} v_{41} \\v_{42}\\v_{43}\\v_{44} \end{pmatrix} = 1\cdot v_{41} + 2\cdot v_{42} + 0\cdot v_{43} + 0\cdot 1 = 0 \end{eqnarray}$ Das machst Du jetzt auch für die 2 anderen Skalarprodukte und sdann hst Du wie gesagt 3 Gleichungen für 3 unbekannte.
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