Offene Teilmengen in R^n |
| 01.09.2011, 15:39 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Offene Teilmengen in R^n was ich mich gerade frage: Lässt sich jede offene Teilmenge von R^n als abzählbare Vereinigung disjunkter abgeschlossener und offener Kugeln schreiben? Edit: Okay, habe eingesehen, dass es in R^2 schon nicht mehr geht. In R müsste es aber gehen. Aber geht es vielleicht bis auf eine Nullmenge? Reedit: Sorry, vielleicht geht die ursprüngliche Sache doch, hatte ein Fehler in meinem Gegenbeispiel 
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| 01.09.2011, 16:45 | sergej88 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, das geht für offene Teilmengen, benutze dazu die rationalen Zahlen. Diese sind ja abzählbar und hinreichend "fein". mfg |
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| 01.09.2011, 20:11 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was geht? Das erste oder das zweite? |
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| 02.09.2011, 01:02 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ursprüngliche Sache geht. Jeder Punkt in einer gegebenen offenen Menge ist in einem Epsilon-Ball mit rationalem Durchmesser um einen Punkt mit rationalen Koordinaten enthalten, sodass dieser Ball ganz in der Menge liegt. Von solchen Bällen gibt es nur abzählbar viele. edit: Hatte die 'disjunkt'-Voraussetzung übersehen, sorry. Brauchst du denn Kugeln oder gehen auch Würfel? Man könnte vielleicht erstmal die gegebene offene Menge als Vereinigung abzählbar vieler disjunkter Würfel schreiben (das geht jedenfalls mit halboffenen Würfeln) und dann jeden Würfel mit abzählbar vielen Kugeln füllen. |
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| 02.09.2011, 08:26 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich glaube nicht, dass man einen Würfel mit disjunkten Kugeln füllen kann. |
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| 02.09.2011, 14:14 | juffo-wup | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du das beweisen kannst, wäre die erste Frage ja beantwortet. |
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| 02.09.2011, 17:58 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist recht leicht. Wir legen eine Kugel in den Würfel (die erste einer potentiellen Vereinigung), die kann ihn für n>=2 natürlich nicht ausfüllen. Ziehen wir die Kugel vom Würfel ab, vergrößert sich der Rand des Würfels. Alle Punkte, die im inneren des Würfels liegen und nun Rand sind, müssen wir aber später noch abdecken. Das sind für n>=2 aber überabzählbar viele. Jede abgeschlossene Kugel trifft aber maximal einen dieser Punkte. Also geht es nicht. Edit: Die Kugel, die ich in dem Beispiel in den Würfel legte, war offen. Man muss also noch zeigen, dass man min. eine offene braucht, ansonsten klappt mein Beweis nicht. |
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