Aufbau der Cauchyformel Formel für die Windungszahl

01.09.2011, 15:52

Marmorkrebs

Aufbau der Cauchyformel Formel für die Windungszahl

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe schon so viel nachgelesen über die Cauchyformel aber habe sie irgendie noch immer nicht richtig verstanden. Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir helfen könntet.

die Form der Formel lautet ja:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \! \frac{f(\alpha )}{\alpha - z} \, d\alpha \end{eqnarray*}$

Doch warum lautet sie so und was besagt sie denn? Vor allem verstehe ich nicht so genau die Herkunft des Nenners.

Genauso gilt für die Windungzahl
$\begin{eqnarray*} n(\gamma ,z)=\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \! \frac{1}{\alpha - z} \, d\alpha \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich verwende ja nach Voraussetzung eine geschlossenen Kurve in deren Innengebite mein z liegt.
Nach der Cauchyformel kann ich also jeden Funktionswert von z anscheinend über das Intergral über die Kurve bestimmen geteilt durch $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ .
Aber ich habe überhaupt keine Ahnung, warum das so ist....

Dass die Windungzahl angibt, wie oft die Kurve z umrundet, darunter kann ich mir etwas vorstellen aber woher kommt das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha - z} \end{eqnarray*}$ im Integral?

Liebe Grüße

01.09.2011, 20:46

gonnabphd

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Hi,

Im Prinzip ist das so, weil $\begin{eqnarray*} \mathrm{Log}(\alpha - z) \end{eqnarray*}$ Stammfunktion zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha - z} \end{eqnarray*}$ ist auf der geschlitzten Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb C_{-} = \mathbb C \setminus \mathbb R_{\le 0} \end{eqnarray*}$ .

Und der Logarithmus "zählt mit", wie oft die Kurve den Schlitz überquert (zumindest für die Anschauung kann man das so sagen).
Nehmen wir mal an, dass z = 0 ist. Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = \gamma_x(t) + i \gamma_y(t) \end{eqnarray*}$ vom Schlitz nach unten weg startet, diesen nie überquert und schlussendlich wieder zum Ausgangspunkt zurückkehrt, gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta} = \int_0^1 \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)} \, dt = \lim_{t \to 1} \mathrm{Log}(\gamma(t)) - \mathrm{Log}(\gamma(0)) \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{Log}(x + iy) = \log(|x|) + i \mathrm{Arg}(y) \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ von unten wieder zurückkommt, dann wird der Winkel (Arg(y)) von 0 kommend erst grösser und geht dann wieder nach Null. Somit ist die Windungszahl dann null. Kommt der Weg jedoch von oben wieder zum Ausganspunkt zurück, so muss der Winkel gegen $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ gehen für $\begin{eqnarray*} t\to 1 \end{eqnarray*}$ (der Weg geht einmal um den Nullpunkt herum). Und damit ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta} &=& \lim_{t\to 1} \mathrm{Log}(\gamma(t)) - \mathrm{Log}(\gamma(0)) \\&=& \lim_{t \to 1} [\log(|\gamma_x(t)|) + i \mathrm{Arg}(\gamma_y(t)) ] - [ \log(|\gamma_x(0)|) + i \mathrm{Arg}(\gamma_y(0))] \\ &=& \log(|\gamma_x(1)|) + i \cdot 2\pi - \log(|\gamma_x(0)|) - i \cdot 0 \\ &=& 2\pi i \end{eqnarray*}$

Wenn man einen Weg hat, der den Schlitz überquert, kann man ihn sich als zusammengesetzt vorstellen aus Wegen, welche vom Schlitz starten und dort enden, ohne ihn zwischendurch zu überqueren. Das meine ich damit, dass der Logarithmus zählt wie oft ein Weg den Schlitz überquert (er zählt +1, wenn der Weg nach unten weggeht und von oben kommt).

Wenn du schon ein bisschen algebraische Topologie kennst, dann kann man auch sagen:

$\begin{eqnarray*} \exp: \mathbb C \to\mathbb C^\ast \end{eqnarray*}$

ist eine Überlagerung und $\begin{eqnarray*} \gamma \mapsto \int_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta} \end{eqnarray*}$ ist gerade die Hochhebe-Abbildung für Wege.

01.09.2011, 21:27

Marmorkrebs

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HAllo und schon einmal vielen lieben Dank für Deine Antwort!!! Freude

Ich werde mal darüber nachdenken und das hoffentlich verstehen.
Kannst du mir vielleicht bitte noch die Bedeutung der Cauchyformel und die des Cauchysatzes erklären und auch, wo die Unterschiede liegen??
Kann man das für Dummies wie mich vielleicht anschaulich erklären?

Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen, da mich diese Thematik schon ganz wuschelig macht verwirrt

und schon langsam zur Verzweifelung bringt... traurig

Allerdings habe ich gesehen, dass der Residuensatz eine Verallgemeinerung der Cauchyformel ist und da ist es natürlich sinnvoll, wenn ich erstmal Letztere verstehe...

Ich hoffe Du bzw.Ihr könnt mir weiterhelfen!!!

Liebe Grüße

01.09.2011, 22:27

gonnabphd

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Ich habe erst mal eine Gegenfrage. Wenn du sagst, du verstehst es nicht, was meinst du damit genau? Verstehst du den Beweis aus eurer Vorlesung nicht? Scheint es nicht intuitiv? Meinst du etwas anders damit?

Denn "die Bedeutung zu erklären" ist irgendwie schwierig und schon beim Erklärungsversuch von oben bin ich mir nicht sicher, wieviel dir das nun bringt.

Vielleicht könntest du versuchen, genauer zu beschreiben, wo's denn hakt.

02.09.2011, 08:36

Marmorkrebs

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Guten Morgen!

Danke für Deine schnelle Antwort!

So, also ich habe jetzt mal versucht mir noch einmal den Beweris hier anzuschauen

http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel

Erste Frage (und die ist wahrscheinlich eine wenig doof) aber warum wähle ich die Funktion g so, wie sie gewählt wurde.

Warum das Integral darunter so aussieht ist mir klar, denke ich. g ist stetig und ein Kurvenintergral über einen geschlossenen Weg ist von einer stetigen funktion = 0 .
Dann setze ich für g meine Funktion ein für den Fall, dass z ungleich w ist.

Ich kann das Intergal dann auch auseinanderziehen... VErstanden.

Aber jetzt wieder mein altes Problem! Die Funktion h wird als hinteres Integral gewählt und die Ableitung sowie die Stammfunktion bestimmt und gefolgert, dass h konstant ist und und somit das Intergral o wird, da es ja in der eigentlichen Cauchyformel wegfällt.... Aber da komme ich irgendwie nicht mit.

War mein PRoblem so verständlicher nachvollziehbar??? verwirrt

02.09.2011, 09:18

Marmorkrebs

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Ups, natürlich wird das hinter Integral nicht 0, sondern konstant. Aber warum? Das Integral hat dann einen Wert von 2pi i aber warum?

03.09.2011, 00:41

gonnabphd

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Zitat:

g ist stetig und ein Kurvenintergral über einen geschlossenen Weg ist von einer stetigen funktion = 0 .

Mitnichten. Das Integral über einen geschlossenen Weg einer holomorphen Funktion ist unter gewissen Umständen (nicht mal in jedem Falle!) =0.

Zitat:

Die Funktion h wird als hinteres Integral gewählt und die Ableitung sowie die Stammfunktion bestimmt und gefolgert, dass h konstant ist und und somit das Intergral o wird, da es ja in der eigentlichen Cauchyformel wegfällt... Aber da komme ich irgendwie nicht mit.

Wo ist "da"? Was verstehst du daran denn nun genau nicht?

03.09.2011, 10:12

Marmorkrebs

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HAllo!

Zitat:

Mitnichten. Das Integral über einen geschlossenen Weg einer holomorphen Funktion ist unter gewissen Umständen (nicht mal in jedem Falle!) =0.

Ok, und unter welchen Umständen ist das so? Gilt das nur für einfach zusammenhängende Mengen U, sprich zusammenhängende, die keine Löcher haben? Bedeutet dies, dass wenn ich nur eine offenen Menge U annehme, können sich in ihr Definitionslücken befinden oder wie?

Ich meine, ich betrachte bei der Cauchyformel ( mit U offen) doch auch eine holomorphe Funktion. Und deswegen setzte ich im ersten Schrit
$\begin{eqnarray*} 0=\int_{Rand von U} \! g(w) \, dw \end{eqnarray*}$

DOch warum wählt man $\begin{eqnarray*} g(w) =\frac{f(w)-f(z)}{w-z} \end{eqnarray*}$ ?

Diese "produziert" doch ein z, für das g icht mehr holomorph ist aber warum mache ich das so?

Ich habe schon manche Beispiele gesehen, in denen z eben ausserhalb der Kurve lag und somit konnte geschlossen werden, dass das Integral 0 ist. gilt das also nur in diesem Fall?

Zu meinem nächsten Problem:

In dem BEweis setzten sie dann $\begin{eqnarray*} \int_{Rand von U} \! \frac{1}{\alpha -z} \, d\alpha \end{eqnarray*}$ .
Bis hierhin konnte ich die Inetralumformungen nachvolziehen. aber jetzt wird aus der Ableitung von h gefolgert, dass deren Stammfunktion $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\alpha -z} \end{eqnarray*}$ und das aus diesem Grund h konstant sein muss....
Doch warum ist das so? Diese folgerungen verstehe ich nciht: Warum schaut man sich die Ableitung der funktion an und vergleicht dann die Funktion h mit der Stammfunktion der Ableitung h...
Klar, wenn ich diese beiden dann miteinander vergleiche steht dann da:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\alpha -z}=-\frac{1}{\alpha -z} \end{eqnarray*}$
(Linke Seite ist h und rechte Seite ist die Stammfunktion der Ableitung von h)

Da beide Seiten nicht gleich sind, muss h konstant sein...

Dann egibt das Integral über diesen Geschlossenen Weg $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$

folglich lässt sich das so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 0=\int_{RandvonU} \! g(w) \, dw= \int_{RandvonU}\frac{f(\alpha )-f(z)}{\alpha -z} d\alpha = \int_{RandvonU}\frac{f(\alpha )}{\alpha -z} d\alpha -f(z)\int_{RandvonU}\frac{1 }{\alpha -z} d\alpha =\int_{RandvonU}\frac{f(\alpha )}{\alpha -z} d\alpha-f(z)2\pi i<br /> \Rightarrow Cauchyformel \end{eqnarray*}$

Sprich, mein Problem liegt noch in der Wahl von g. Warum wählen wir g so?
f hat doch keine Stellen, an denen f nicht holomorph ist

Und zudem noch, warum man sich am Ende die Ableitung von h anschaut und die se integriert und mit h vergleicht. Warum macht man das so?

So, ich hoffe jetzt ist alles klarer! :-)

03.09.2011, 15:18

gonnabphd

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Zitat:

Ok, und unter welchen Umständen ist das so? Gilt das nur für einfach zusammenhängende Mengen U, sprich zusammenhängende, die keine Löcher haben?

Das hängt vom Weg und der analytischen Funktion ab. Allerdings stimmt, dass es hinreichend ist, wenn U einfach zusammenhängend ist.

Zitat:

DOch warum wählt man $\begin{eqnarray*} g(w) =\frac{f(w)-f(z)}{w-z} \end{eqnarray*}$ ?

Dieses g zu wählen ist halt ein geschickter Trick, der einem Mathematiker (J. D. Dixon) irgendwann mal (1971) eingefallen ist.

Dass dir das womöglich nicht eingefallen wäre, ist also kein Wunder. Die Antwort ist also "Weil's funktioniert.".

Im übrigen: Ich hoffe, dass du auch Zugang zu einem Beweis in einem Lehrbuch hast. Denn auf Wikipedia sollte man nun wirklich nicht versuchen Mathe zu lernen (da schlägt man höchstens mal was nach). Ein gutes Buch, in dem diese Version des Satzes (und der gleiche Beweis) vorkommen ist Funktionentheorie von Freitag, Busam.

Zitat:

Bis hierhin konnte ich die Inetralumformungen nachvolziehen. aber jetzt wird aus der Ableitung von h gefolgert, dass deren Stammfunktion $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{\alpha -z} \end{eqnarray*}$ und das aus diesem Grund h konstant sein muss....

Nein, nein, nein. Es ist

$\begin{eqnarray*} h(z) = \oint_{\partial U} \frac{d\zeta}{\zeta - z} \end{eqnarray*}$

und mit der Leibnizschen Regel dann

$\begin{eqnarray*} h'(z) = \oint_{(-1) \partial U} \frac{d\zeta}{(\zeta - z)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

Wobei das letzte Gleichheitszeichen folgt, weil der Integrand eine Stammfunktion besitzt und wir über einen geschlossenen Weg integrieren.

Zitat:

Sprich, mein Problem liegt noch in der Wahl von g. Warum wählen wir g so?
f hat doch keine Stellen, an denen f nicht holomorph ist

Mein Rat: Schau dir Freitag, Busam an (und versuche nie, Beweise von Wikipedia zu lernen... Die Exposition ist einfach mal miserabel da.). Im Lehrbuch wird auf mehreren Seiten erklärt, was Wikipedia in 5 Zeilen versucht. Also kein Wunder, dass da was schiefgehen muss.

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