Beweis Anzahl der Teiler einer Zahl

01.09.2011, 17:23

chris56

Beweis Anzahl der Teiler einer Zahl

Hallo!
Ich benötige den Beweis für die Anzahl der Teiler einer Zahl und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Bsp: Teiler von 250
Primfaktorzerlegung von 250=2^1 * 5^3
Anzahl der Teiler (d): d= (k1+1)*(k2+1); k...Exponent
d=(1+1)*(3+1)=8

Wie kann man formal beweisen, dass
d(n)=(k1+1)*(k2+1)*...*(ki+1) ist?

01.09.2011, 17:59

Pascal95

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Zählst du die eins und die Zahl selber und jeweillige mit zu den Teilern ?

Beispiel 100:
$\begin{eqnarray*} 100=2^2\cdot 5^2 \end{eqnarray*}$

Nach der Formel gäbe es $\begin{eqnarray*} (2+1)\cdot(2+1)=3\cdot 3=9 \end{eqnarray*}$ Teiler.

Wie soll man da auf 9 kommen ?

Beispiel 10:
$\begin{eqnarray*} 10=2^1\cdot 5^1 \end{eqnarray*}$

Nach der Formel gäbe es $\begin{eqnarray*} (1+1)\cdot(1+1)=2\cdot 2=4 \end{eqnarray*}$ Teiler.

Wie soll man da auf 4 kommen ?
Vielleicht 2, 5, -2, -5 ?

Ebenso bei deinem Beispiel 250.

01.09.2011, 18:24

René Gruber

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Zitat:

Original von Pascal95
Zählst du die eins und die Zahl selber und jeweillige mit zu den Teilern ?

Das macht man gewöhnlich so, ja.

Zitat:

Original von Pascal95
Beispiel 10:
$\begin{eqnarray*} 10=2^1\cdot 5^1 \end{eqnarray*}$

Nach der Formel gäbe es $\begin{eqnarray*} (1+1)\cdot(1+1)=2\cdot 2=4 \end{eqnarray*}$ Teiler.

Wie soll man da auf 4 kommen ?

1,2,5,10

@chris56

Überlege dir das ganze erstmal für Primzahlpotenzen, d.h. die Formel $\begin{eqnarray*} d(p^k) = k+1 \end{eqnarray*}$ .

In einem zweiten Schritt begründe, warum $\begin{eqnarray*} d(u\cdot v)= d(u)\cdot d(v) \end{eqnarray*}$ für teilerfremde $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ gilt.

Beides in Kombination ergibt dann den Beweis deiner Aussage.

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