Mengenlehre - Funktion - Beweis |
| 01.09.2011, 19:50 | Strawy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
| Mengenlehre - Funktion - Beweis ich hatte in der Semesterabschlussklausur der Vorlesung "Grundzüge der Logik und Mengenlehre" folgende Aufgabe und konnte diese leider nicht lösen. Beweisen oder widerlegen Sie: a) Sind A, B und C Mengen, f: A->B und g: B->C Funktionen und ist g°f surjektiv, so ist f surjektiv. b) Sind A, B und C Mengen, f: A->B und g: B->C Funktionen und ist g°f surjektiv, so ist g surjektiv. Ich habe die Lösung sowohl mit einer Wahrheitswert-Tabelle, als auch mit einem zeichnerischen Beispiel versucht, was leider beides nicht geklappt hat. (Beweise liegen mir leider so gar nicht) Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise, die ich für solche Beweise anwenden kann? (zb ähnlich Induktion) Es wäre super, wenn jemand eine Idee oder einen Ansatz hätte, der mir weiterhilft, weil ich nächste Woche noch mal eine Klausur zu dem Themengebiet schreiben muss und ich besser vorbereitet sein möchte, wobei ich nicht glaube, das genau die Aufgabe noch mal dran kommt. Ich würde mich sehr freuen. Lgr Sara |
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| 01.09.2011, 20:02 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo Sara! Zeichnerisches Beispiel ist schon mal gar nicht schlecht, zumindest zur Ideenfindung bzw. um dir den Sachverhalt anschaulich klarzumachen. Was bedeutet denn Surjektivität (beschreibe es mal möglichst genau in Worten)? Und was bedeutet g°f? Wie könnten denn die Mengen A,B,C und die Funktionen f,g beispielsweise aussehen? Kannst du darauf aufbauend vielleiciht (wenn auch zunächst ohne strengen Beweis, aber auf jeden Fall mit Begründung!) dir selber klarmachen, ob a) bzw. b) wahr oder falsch ist? Ich weiß, dass das noch keine sehr konkreten Tipps sind, die geb ich dir gern noch, möchte aber erstmal, dass Du mal postest, was deine eigenen Ideen sind 
VG Dustin |
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| 02.09.2011, 17:55 | Strawy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo Dustin, ich wollte mich auf jeden Fall schon mal für deine Anregungen bedanken. ich werde aber leider erst Sonntag dazu kommen, mich damit zu beschäftigen. Dann melde ich mich auf jeden Fall wieder und bin gespannt, was dann dabei raus kommt ;-) Schönen abend noch. Lgr sara |
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| 02.09.2011, 18:11 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Tu das. Kein Stress
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| 04.09.2011, 13:07 | Strawy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallöschen, ich habe mich dann also bei strahlendem Sonnenschein mal mit der geliebten Mengenlehre beschäftigt und bin zu folgenden Ergebnissen (wenn man das so nennen kann 
) gekommen.Funktion: eine linkstotale und rechtseindeutige Relation zwischen A und B. Das heißt, von jedem Punkt der linken Menge (A) geht genau 1 Strich aus (zur rechten Menge B). Surjektiv: Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element b in der Zielmenge (B) von mind. 1 Linie getroffen wird. (es sind beides jetzt nicht die mathematischen Definitionen, aber ich soll ja beschreiben, wie ich es verstehe ;-) ) g°f: es handelt sich um 3 Mengen und 2 Funktionen. Dabei wird die Menge A durch f auf B abgebildet. B ist durch g auf C abgebildet. Die beiden eigenständigen Funktionen werden durch g°f verkettet, da sie beide über die Menge B als „Brücke“ verfügen. Als Ergebnis hat man eine neue Funktion g°f, die A auf C abbildet. (ist jetzt nicht so schön erklärt). So, bis hier hin war das ganze ja noch recht einfach und jetzt bin ich ratlos. Ich hab mal alle meine Überlegungen aufgeschrieben, die aer sehr durcheinander sind und nicht wirklich etwas begründen.
- Allerdings habe ich soeben in meiner Mitschrift den Satz gefunden: g°f surjektiv -> g surjektiv. Demnach könnte das Beispiel nicht richtig sein. - Oder ist bijektiv zugleich auch surjektiv? Es heißt ja mind. 1 Linie, dh es könnte doch auch, wie bei bijektiv, genau 1 Linie sein, oder? - Auf jeden Fall darf keine der Funktionen injektiv sein, da sonst keine surjektive Verkettung mehr zustande kommt. - Die Menge B müsste auch größer oder gleich groß als/mit Menge C sein, da sonst eine surjektive Funktion ausgeschlossen ist (wenn nur 2 Linien losgehen, können keine 3 Punkte erreicht werden). - Die Behauptung a) ist nur dann wahr, wenn die Menge A größer als die Menge B ist, sonst ist die Funktion f bijektiv. - Die Verkettung beider Beispiele ist gleich. Schönen Sonntag wünsche ich noch. Lgr Sara |
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| 04.09.2011, 16:21 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hallo Sara! ich habe mich hier also bei strahlendem Sonnenschein mit deinem Post beschäftigt (also mach hier nicht die Mitleid-haben-wollen-tour 
) und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
Genauso hatte ich mir das vorgestellt 
- Das Beispiel zeigt eine surjektive Verkettung g°f. In diesem Fall wäre f tatsächlich ebenfalls surjetiv und die Behauptung a) wahr. Welches deiner Beispiele? Bei Nummer 3 ist g°f NICHT surjektiv! Ich gehe aber mal davon aus, dass 3) nur zur Veranschaulichung einer Verkettung allgemein dient und du Beispiel 4) meinst. Da ist g°f in beiden Fällen ( i und ii) surjektiv, genau. f ist in deinen beiden Fällen ebenfalls surjektiv, ja.
Bijektiv=injektiv und surjektiv, du Nase. Das muss man wissen!
Das stimmt nicht. Was bedeutet denn Injektivität, wenn du das schon erwähnst?
Stimmt.
Siehe oben. Okay, du hast dir also schon ein paar Gedanken gemacht. Um das Ganze nun ein wenig in Richtung der Aufgabenstellung zu bewegen, schauen wir uns nochmal deine Erklärung von Surjektivität an:
Da es in der Aufgabenstellung ausschließlich um Surjektivität geht (nicht um In- oder Bijektivität), brauchen wir auch nix anderes. Es geht um 3 Funktionen, nämlich f, g und g°f. Da es bei Surjektivität um Zielmengen geht, stelle dir doch mal folgende Fragen: - Was sind die Zielmengen der drei Funktionen jeweils? - Was wird in Aufgabe a) bzw. b) vorausgesetzt, was wird behauptet? (Verwende dabei deine Erklärung des Begriffs Surjektivität). Wenn du dir das klarmachst (und gern auch hier postest), kannst du sofort erkennen, ob a) bzw. b) richtig oder falsch sind. Also, her mit deinen Antworten auf die beiden Fragen!
VG Dustin |
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| 04.09.2011, 18:33 | Strawy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Huhu, genau, 3) war nur als Beispiel für eine allgemeine Verkettung gedacht. Nun zu den zwei Fragen: Die Zielmenge von f ist B. Die Zielmenge von g ist C. Die Zielmenge von g°f ist ebenfalls C. Die Voraussetzung für beide Behauptungen ist, dass g°f surjektiv ist, dass also jedes Element der Menge C von mind. 1 Linie aus der Menge A getroffen wird. a) die Behauptung wäre falsch, weil sich die Funktion f nicht unmittelbar auf die Zielmenge C von g°f bezieht. f kann zwar surjektiv sein, muss es aber nicht sein. b) jedes Element c der Zielmenge C wird von mind. 1 Linie erreicht (durch die Funktion g°f). Also muss g auch surjektiv sein, weil die Funktion g die gleiche Zielmenge hat wie g°f, nämlich C. Dann wäre die Behauptung wahr. Allerdings bin ich mir nicht wirklich sicher, ob das jetzt so stimmt. Als Beweis würde das doch so auch nicht durchgehen, oder? Schönen Abend wünsche ich noch. Lgr |
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| 04.09.2011, 21:21 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Na siehst du, so einfach ist das
Genau richtig argumentiert!b) kann durchaus als argumentativer Beweis durchgehen. Vielleicht solltest du statt von "Pfeilen" eher von "Funktionswerten" sprechen, aber im Prinzip ist es das
a) Um zu beweisen, dass eine allgemeingültige Behauptung falsch ist, reicht ein konkretes Gegenbeispiel. Versuche also eine Kettenfunktion wie in Bsp. 4) zu basteln, aber so, dass g°f surjektiv ist, aber f nicht surjektiv ist. (Bedenke, dass du die Menge B so groß machen kannst wie du magst!) LG Dustin |
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| 06.09.2011, 16:04 | Strawy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Super, dass das jetzt doch noch so gut geklappt hat. Kann ich dieses Vorgehen auch für bijektive und injektive Funktionen nutzen (falls so was noch mal kommt)? Ich DANKE dir, das war eine SUPER Hilfe!
Schönen Tag noch. Lgr |
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| 09.09.2011, 10:11 | Dustin B | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||
Hi Strawy, sorry für die späte Antwort, war jetzt ein paarTage weg. Naja, wenn du entsprechend zur Surjektivität verwendest, was Injektivität bedeutet, dann kannst du das natürlich auch entsprechend in Beweisen verwenden. Du könntest ja, wenn du Lust hast/üben willst, dieselben beiden Fragen nochmal machen, nur mit "injektiv" statt "surjektiv". Also: Beweisen oder widerlegen Sie: a) Sind A, B und C Mengen, f: A->B und g: B->C Funktionen und ist g°f injektiv, so ist f injektiv. b) Sind A, B und C Mengen, f: A->B und g: B->C Funktionen und ist g°f injektiv, so ist g injektiv. LG Dustin |
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