Frage zu einem Beweis

01.09.2011, 22:17

Gast11022013

Frage zu einem Beweis

Meine Frage:
Folgender Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} U\subset\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein sternförmiges Gebiet und $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare geschlossene Pfaffsche Form in U. Dann besitzt $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F:U\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Beweis (zu dem ich zu dem Fettgeschriebenen gleich eine Frage habe):

Nach evtl. Tranalation des Korrdinatensystems können wir annehmen, dass U sternförmig bzgl. des Nullpunktes ist. Ist $\begin{eqnarray*} \omega=\sum f_idx_i \end{eqnarray*}$ , so definiere man F durch das Integral

$\begin{eqnarray*} F(x):=\int_0^1\left(\sum_{i=1}^{n}f_i(tx)x_i\right)dt \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ .

Das Integral ist definiert, denn wegen der Sternförmigkeit von U liegt die ganze Strecke $\begin{eqnarray*} tx, 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ , in U.

Man rechnet unter der Benutzung der Bedingung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j}=\frac{\partial f_j}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ leicht nach, dass $\begin{eqnarray*} \partial F/\partial x_i=f_i \end{eqnarray*}$ , also F Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Frage ist: Wie rechnet man das nach?

Wie rechnet man:

$\begin{eqnarray*} \partial F/\partial x_i \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_i} F(x)=\frac{\partial}{\partial x_i}\int_0^1\left(\sum_{i=1}^{n}f_i(tx)x_i\right)dt=f_i \end{eqnarray*}$ ?

[Und könnte es sein, dass es vielleicht in der Summe $\begin{eqnarray*} f_i(tx)dx_i \end{eqnarray*}$ heißen muss und da ein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ vergessen wurde?]

Anders gefragt: Wie bildet man denn eine partielle Ableitung zu diesem Integral?

Meine Ideen:

Vielleicht darf man unterm Integral differenzieren?

01.09.2011, 22:54

gonnabphd

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Zitat:

[Und könnte es sein, dass es vielleicht in der Summe $\begin{eqnarray*} f_i(tx)dx_i \end{eqnarray*}$ heißen muss und da ein $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ vergessen wurde?]

Nein, nein. Das sollte so schon stimmen (F muss ja auch eine reellwertige Funktion sein, damit dF den Grad 1 hat).

Zitat:

Vielleicht darf man unterm Integral differenzieren?

Ja, das ist die Idee.

01.09.2011, 23:04

Gast11022013

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Juhu, ich hatte mal eine richtige Idee!

Ich muss allerdings nochmal nachfragen, wie das nun vonstatten geht.

Ich nehme mal den Fall, daß n=2 ist.

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{i=1}^{2}f_i(tx)x_i\right)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^1\left(\sum_{i=1}^{2}\frac{\partial}{\partial x_i}f_i(tx)x_i\right)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int_0^1\left(\frac{\partial}{\partial x_1}f_1(xt)x_1+\frac{\partial}{\partial x_2}f_2(xt)x_2\right)dt \end{eqnarray*}$

So?

Die Bezeichnungen $\begin{eqnarray*} f_1, f_2 \end{eqnarray*}$ finde ich hier übrigens ein bisschen irreführend, denn das sollen ja keine Komponenten beispielsweise einer Funktion f sein, sondern einfach jeweils Funktionen von U nach IR.

01.09.2011, 23:38

gonnabphd

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Du solltest doch partiell nach einem fixen (!) x_i ableiten.

Die Notation ist schon gerechtfertigt, denn die f_i sind ja die Komponenten von Omega

$\begin{eqnarray*} \omega=\sum f_idx_i \end{eqnarray*}$

01.09.2011, 23:48

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd
Du solltest doch partiell nach einem fixen (!) x_i ableiten.

Achja...

Also $\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{\partial}{\partial x_i}\left(f_1(xt)x_1+f_2(xt)x_2\right)dt \end{eqnarray*}$

Und jetzt mit irgendeinem fixen i, also entweder i=1 fix oder i=2 fix. Ich entscheide mich mal für i=1.

Irgendwie komme ich an dieser Stelle nicht weiter.

Was wäre denn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}f_1(xt)x_1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich schreibe es mal so weit auf, wie ich komme:

Produktregel?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}f_1(xt)\cdot x_1+f_1(xt)\cdot \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_1}x_1}_{=1} \end{eqnarray*}$

Irgendwo muß man ja aber auch noch die Integrabilitätsbedingung anwenden, wie in dem Beweis vorgeschlagen.

01.09.2011, 23:58

gonnabphd

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Ja, Produktregel stimmt natürlich (ich denke, den Schritt kannst du dir ruhig selber zutrauen). Auch partielles integrieren sollte dir inzwischen leicht fallen, denke ich (hint, hint).

02.09.2011, 00:14

Gast11022013

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Dann wäre ich bei

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 t\cdot x_1+f_1(xt)+t\cdot x_2 dt \end{eqnarray*}$

02.09.2011, 01:24

Gast11022013

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Habe, glaube ich, die Kettenregel vergessen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}f_1(xt)\cdot x_1+f_1(tx)\cdot \frac{\partial}{\partial x_1}x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\partial}{\partial x_1}f_1(tx)\cdot \frac{\partial}{\partial x_1}tx\cdot x_1+f_1(tx)\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{\partial}{\partial x_1}f_1(tx)\cdot t\cdot x_1+f_1(tx) \end{eqnarray*}$

Außerdem

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}f_2(tx)\cdot x_2=\frac{\partial}{\partial x_1}f_2(tx)\cdot t\cdot x_2 \end{eqnarray*}$

Außerdem gilt ja $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x_1}f_2(tx)=\frac{\partial}{\partial x_2}f_1(tx) \end{eqnarray*}$ wegen der Integrabilitätsbedingung.

Tja, ich habe dann

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x_1}f_1(tx)\cdot t\cdot x_1+f_1(tx)+\frac{\partial}{\partial x_2} f_1(tx)\cdot t\cdot x_2 dt \end{eqnarray*}$ ,

werde daraus aber nicht schlau, denn da müsste ja nun, weil ich zu Beginn i=1 gewählt habe, $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ herauskommen, was ich überhaupt nicht sehe. verwirrt

03.09.2011, 15:55

gonnabphd

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Zitat:

Original von gonnabphd
Auch partielles integrieren sollte dir inzwischen leicht fallen, denke ich (hint, hint).

Oder noch ein bisschen deutlicher: Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} f_1(tx) \end{eqnarray*}$ ?

03.09.2011, 16:14

Gast11022013

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Das ist x.

Edit: unglücklich

Ich kanns nicht sagen!