Basis, Kern

02.09.2011, 11:13	IchBinsNicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis, Kern Moinsen, ich muss mal eine Frage loswerden, ok? Wenn ich die Basis zum Kern bestimmt habe und die Dimension n ist, dann werden immer n linear unabhängige Vektoren genau diesen Kern aufspannen, ganz egal zu welchen Koordianten die Vektoren dargestellt sind, oder?
02.09.2011, 18:39	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis, Kern Okay, die Frage verstehe ich nicht wirklich. Meinst du, dass dann n beliebige Vektoren eine Basis des Kerns bilden? Dem ist nicht so, wie ein einfaches Beispiel zeigt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 &1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2=\lambda \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_3=-\lambda \end{eqnarray}$ , eine Basis des Kerns ist also $\begin{eqnarray} span~\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Sicherlich ist aber $\begin{eqnarray} span~\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ keine Basis des Kerns. Präzisiere also bitte deine Frage.
02.09.2011, 19:02	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} \mathrm{span}~\left\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ ist der Kern, eine Basis wäre $\begin{eqnarray} B:=\left(\ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \ \right) \end{eqnarray}$ Cordovan
02.09.2011, 19:08	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, ist richtig, ich hatte erst vor, nur den Vektor dahin zu schreiben, ich editiere es auch nicht, da ansonsten kein Mensch mehr wüsste, worauf du Bezug nimmst.
02.09.2011, 20:06	IchBinsNicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich meine, wenn ich eine Basis des Kerns bestimmt habe zu einer linearen Abbildung. Zum Beispiel sei das eine Basis des Kerns: $\begin{eqnarray} \text{Kern = }\{\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5\end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ Offensichtlich ist die Dimension 2. Jetzt frage ich, ob belibiege 2 linear unabhängige Vektoren über dem selben Vektorraum auch eine Basis bilden? Insbesondere ist es auch irrelevant zu welcher Basis diese 2 linear unabhängigen Vektoren dargestellt sind?
02.09.2011, 21:36	Shalec	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn deine zwei willkürlich gewählten Vektoren ebenfalls eine Basis des gleichen Kerns darstellen sollen, dann nein. Sollen sie jedoch einen Vektorraum aufspannen (siehe den R³, der von der Standardbasis aufgespannt wird) so wirst du durch das anwenden des Satzes zum Basiswechsel, dass du linearunabhängige Vektoren wählen kannst, welche ebenfalls eine Basis des R³ bilden, sehen, dass Basen untereinander durchaus linear abhängig sind dennoch alle weiteren Elemente erzeugt werden können. (siehe definition der Basis) Ich hoffe, dass das deine Frage beantwortet und ich nicht den "Kern" deiner Frage übersehen hab Bedenke es heißt niemals "DIE Basis" immer "EINE Basis" Edit:\\ Wenn du dir das mal mit dem Kern überlegst, du hast eine Abbildung, die durch deine Matrix beschrieben wird, diese Matrix ist idR immer zur Standardbasis gegeben (alternativ kannst du auch die Spalten als Basis des Bildes wählen). Stelle nun die Matrix mal zu einer beliebigen anderen Basis dar und berechne den Kern, überprüfe anschließend, ob du einfach deinen ursprünglichen Kern in diesen durch eine Basistransformationsmatrix überführen könntest (mit der gleichen Transformationsmatrix wie die für deine Matrix).
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