Lagrange-Restglied bestimmen |
| 02.09.2011, 12:56 | Mecha_Theo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Lagrange-Restglied bestimmen Ich habe die folgende Aufgabe: Aufgabe 6 (5 Punkte) Wir betrachten f(x) = cos(x) auf dem Intervall I = [0, pi /2 ]. (a) Berechnen Sie das in x = 0 entwickelte Taylorpolynom zweiter Stufe T2(f, x, 0) und das zugehörige Restglied R2(f, x, 0) nach Lagrange. (b) Ersetzen wir cos(x) durch T2(f, x, 0), so entsteht ein Approximationsfehler. Bestimmen Sie Betha so, dass der Approximationsfehler auf [0, Betha] kleiner als 10^-3 wird. Der erste Teil ist kein Problem, ich habe das Taylorpolynom um 0 2ten Grades: T2=1-1/2x^2 und das Restglied: R2=1/6sin(xi)x^3 Nun soll ich das Betha bestimmen damit das Restglied kleiner als 10^-3 ist. Zunächsteinmal hab ich nicht ganz verstanden was für ein Betha die meinen und hab einfach angenommen, dass sie xi meinen. (Vielleicht hier schon alles falsch verstanden) Dann habe ich mir gedacht, dass der sinus auf dem Intervall I stetig ist und deswegen habe ich für x einfach mal Pi /2 eingesetzt und dann die ungleichung nach Betha aufgelöst. Damit krieg ich Betha<arcsin(6/(125*pi^3)). Irgendwie glaube ich aber, dass es nicht stimmt. Kann da vllt jemand helfen, bzw allgemeine Tipps zu solchen aufgaben geben. Danke schonmal für eure Antworten. Lg Theo |
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| 02.09.2011, 14:09 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich hab nicht nachvollzogen was du getan hast, aber ich kann dir sagen was du tun wolltest. Das ist eine positive, reelle Zahl und es soll für alle gelten . Dies ist auf dem direkten Wege nicht leicht aufzulösen. Allerdings hast du ein Restglied, das genau diese Differenz beschreibt. Das sollte dir weiterhelfen. |
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| 02.09.2011, 14:26 | Mecha_Theo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok dann krieg ich folgendes: 1/6*sin(xi)*x^3<10^-3. Mit xi € [0,pi/2] und x € [0,Betha] Ich schätz den sinus mit 1 ab und bekomme: x<(6*10^-3)^(1/3) bzw x<6^(1/3)*10^-1 was dann auch mein Betha ist Stimmt das so? |
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| 02.09.2011, 14:30 | Grouser | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jop 
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| 02.09.2011, 14:35 | Mecha_Theo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok danke schön! |
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