Supremum,Infimum einer Menge

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Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum,Infimum einer Menge
Guten Tag,

ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen:

Sei . Bestimmen Sie Supremum, Infimum, Maximum, Minimum der Menge M.

Nun es gilt: . Somit ist das Supremum der Menge vermutlich gleich 2.
Beh: 2 ist eine obere Schranke von M.
Bew: Sei . Somit ist 2 eine obere Schranke der Menge M. Nun möchte ich zeigen, dass es sich hierbei auch um das Supremum handelt. Hier fangen die Schwierigkeiten an...
Beh: sup(M) = 2
Bew: Sei .
Fall 1: . Sei n = 1. Dann gilt: . Dies ist ein Widerspruch d.h ist keine obere Schranke von M.
Fall 2: . Nun habe ich keine Ahnung wie ich hie n wählen kann, um die Behauptung zum Widerspruch zu führen. Freue mich über jeden Art von Hilfe smile
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum,Infimum einer Menge
hi!
also ich würde diesen beweis ein klein wenig anders führen:
Annahme: 2 ist nicht supremum der menge, dann gibt es ein d>0, sodass

dank der archimedischen eigenschaft kannst du dir dann ein n>(etwas in abhängigkeit von d) so wählen, dass du diese gleichung zum widerspruch führen kannst, also d<d.
probiers einfach malAugenzwinkern

edit: natürlich ist der beweis im prinzip der selbe, deine teilung in 2 fälle ist aber überflüssig
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Supremum,Infimum einer Menge
ohhh, schuldigung, sehe grade dass du ja eigendlich weist wies geht, nur nicht wie du auf dein n kommst, nagut ich denke dann sag ichs dir einfach (für deine variante mit epsilon):
du musst wählen.
lg
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe deinen Ratschlag mal befolgt und es auf die andere Weise versucht.
Da gelten soll, muss gelten. Weiter gilt: . Wähle . Dann gilt: . Widerspruch. Somit ist sup(M) = 2. Ich hoffe so stimmt es nun Augenzwinkern . Vielen Dank für deine Hilfe.
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

mhh leider nicht ganz.
also der erste schritt ist auf jeden fall keine äquivalenz. ich nehme an, du bist davon ausgegangen, dass n^2/(1+n^2)>1 für alle n ist (nur so wäre der schritt legitim), das ist leider nicht der fall. oder du bist davon ausgegangen, dass der bruch immer >1/2 ist, was stimmt, aber dann musst du auch in der zweiten ungleichung das n^2 im zähler behalten. das musst du nochmal ändern. der rest WÄRE so korrekt
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade nicht wirklich was du meinst verwirrt . Es gilt doch:

. Somit kann ich das doch einfach einsetzen und erhalte eine Äquivalenz Umformung.
 
 
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das ist dasselbeBig Laugh sry, da bin ich dir wohl nicht ganz gefolgt. gut, so ists ja noch einfacher als ich dachte. schön, also alles richtig Freude

edit: noch was: es reicht zu sagen d>0 (eigendlich musst dus sowieso für alle d>0 zeigen), dass auch d<1 müsstest du eig. noch extra zeigen (was ja nicht schwer ist) und es bringt dir hier nix

lg
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