Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung!

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Suzanne Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung!
Meine Frage:
Folgendes Beispiel: f(x)= x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9
1. Aufgabe, weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f in T1(-3 | 0) und T2 (1 | 0) Tiefpunkte und in H (-1 | 16) einen Hochpunkt hat.

Nun wäre mein Ansatz gewesen -3 von T1 in die Ausgangsgleichung einzusetzen und dann zu gucken ob der Punkt ein hoch-oder tiefpunkt ist (2. Ableitung). Und dann den nächsten punkt in die ausgangsfunktion einzusetzen usw.

In der Lösung wurde der x-wert -3 vonT1 aber in die erste ableitung eingesetzt. Mach ich da was falsch? Bis jetzt hab ich alle Aufgaben so wie oben beschrieben fehlerfrei gelöst. Aber aufeinmal kommt eine Aufgabe wo man den x-wert in die erste ableitung für den rechnerischen nachweis der Extrema einsetzen muss. Jetzt muss ich in ein paar Tagen in eine matheprüfung nachweisen dass ich das Thema verstanden habe.leider kenn ich da keinen, der sich 100% sicher ist. Ist das ein Normalfall,dass die Aufgaben in dem Übungsheft mit der ersten Ableitung gelöst sind?
Würde mich freuen wenn jemand schnellstmöglich antworten Könnte. Danke im vorraus!

Meine Ideen:
Bisher hab ich das so gelöst, dass ich zuerst den x-wert des Punktes in die ausgangsfunktion eingesetzt habe um somit den y-wert des Punktes nachzuweisen, anschliessend hab ich den x-wert in die 2.Ableitung eingesetzt und geguckt ob der wert positiv oder negativ ist um nachzuweisen dass der Punkt ein hoch-/Tiefpunkt ist.
Und im Übungsbuch benutzen sie anstatt der ausgangsfunktion die erste Ableitung der Funktion, und machen dann so weiter wie ich. Ich freue mich auf eure antworten!
Folgendes Beispiel: f(x)= x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 12x + 9
1. Aufgabe, weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f in T1(-3 | 0) und T2 (1 | 0) Tiefpunkte und in H (-1 | 16) einen Hochpunkt hat.

Nun wer mein Ansatz gewesen -3 von T1 in die Ausgangsgleichung einzusetzen und dann zu gucken ob der Punkt ein hoch-oder tiefpunkt ist (2. Ableitung). Und dann den nächsten punkt in die ausgangsfunktion einzusetzen usw.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Was gibt die Ableitung einer Funktion allgemein an?

Wenn du die Stelle x=-3 in die Ausgangsfunktion einsetzt erfährst du nur, welchen y-Wert die Funktion dort annimmt.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Die Aufgabe ist es ja den Punkt rechnerisch nachzuweisen bzw. Den hoch oder tiefpunkt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Ja, das habe ich verstanden, deshalb meine Frage: Was gibt die Ableitung einer Funktion allgemein an?
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Die steigung
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Genau, eine Funktion hat an einer Extremstelle welche Steigung?
 
 
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Natürlich null
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Wenn das klar ist, warum wunderst du dich dann, dass man die erste Ableitung benutzt um an der Stelle x=-3 zu überprüfen, ob die Steigung an der Stelle auch tatsächlich 0 ist ? verwirrt
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Weil ich bisher solche Aufgaben so gelöst habe ohne den x-wert in die1.Ableitung einzusetzen sondern in die ausgangsfunktion und die Ergebnisse waren auch immer richtig, deshalb weiss ich auch nicht wieso aufeinmal auch die erste ableitung benutzt werden kann, konnte man dasschon immer und ist dann mein lösungsweg eigentlich immer falsch gewesen?..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Jap, dein Lösungsweg ist falsch.

Wenn du ein Extremum nachweisen möchtest funktioniert das immert so, dass man zuerst überprüft, ob der gegebene Punkt auf der Kurve liegt (einsetzen in die Ausgangsfunktion).

Dann überprüft man, ob an der Stelle die Steigung verschwindet (notwendiges Kriterium für eine Extremstelle), dazu setzt man die Stelle in die erste Ableitung ein.

Dann schaut man anhand der zweiten Ableitung, ob die kritische Stelle eine Extremstelle ist und um was für eine Extremstelle es sich handelt.


Das klappt nicht bei allen Funktionen, siehe zum Beispiel

An der Stelle x=0 verschwindet die erste und die zweite Ableitung, aber dennoch liegt da ein Extremum vor.

Die erste Ableitung, die an der Stelle x=0 nicht verschwindet ist die 4. Ableitung.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Bisher hatte ich auch nur mit ganzrationalen Funktionen bis dritten Grades gerechnet, und da hat das ohne in die erste Ableitung einzusetzen geklappt. Liegt das dann an dem potenzgrad ?? verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Nein, es liegt nicht am Potenzgrad.

Nimm dir einmal die Funtkion .

Nun zeige oder widerlege, dass an der Stelle (2,15) ein Tiefpunkt vorliegt.

Einsetzen in die Ausgangsfunktion ergibt:



, also Tiefpunkt.

Das Ergebnis ist aber falsch, denn die Extremstellen liegen bei .
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Der dazugehörige x-wert ist also nicht 2 wie angegeben sondern +- Wurzel 2/3 -1, aber warum?. verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Weil die Extrema nun mal da liegen bei der von mir ausgedachten Funtkio, die 1. Ableitung verschwindet an der Stelle x=2 halt nicht, also liegt dort eine Steigung vor, die nicht 0 ist, also kein Extremum weil an der Stelle x=2 die notwendige Bedingung für ein Extremum nicht erfüllt ist.

Aber die Funktion nimmt an der Stelle x=2 den Funktionswert 15 an.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Achso okay, also muss ich jetzt immer wenn ich ein extremem Nachweise die erste Ableitung gleich null setzten oder? Was mich wundert ist nur, dass ich bis jetzt problemlos und sogar fehlerfrei Augenzwinkern ohne die erste albleitung zu benutzen ein extremum nachweisen konnte.. Die erste Ableitung hatte ich nur gleich null gesetzt wenn die extremstelle nicht gegeben war. Dann hatte ich die erste Ableitung gleich null gesetzt um nach der extremstelle(x) aufzulösen.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Das liegt wahrscheinlich daran, dass in der Aufgabenstellung zufälligerweise immer eine Extremstelle gegeben war und du keine Aufgabe zu rechnen hattest, in der ein Punkt gegeben ist, der kein Extrempunkt ist.

Aber nachgewiesen, dass an der Stelle ein Extremum liegt hast du nicht, du hast lediglich gezeigt, dass der Punkt auf der Kurve liegt und dass die zweite Ableitung nicht verschwindet, das ist nicht der Nachweis eines Extremums, also deine Aussage "fehlerfrei nachgewiesen" stimmt nicht, du hast für eine gegebenen Extrempunkt nachgewiesen, dass dieser auf der Kurve der Funktion liegt und dass die zweite Ableitung nicht verschwindet, das notwendige Kriterium hast du vollständig vernachlässigt, von mir würdest du dafür nicht wirklich viele Punkte bekommen, weil nicht klar wird, dass du verstanden hast, worum es eigentlich geht.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Nur nochmal zur Sicherheit? smile mit diesem wissen muss ich in eine Nachprüfung.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Was noch mal zur Sicherheit?

Das hier ist kein Chatroom, bitte stelle deine Frage konkreter.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Besten dank für Ihre schnelle und kompetente Hilfe. Haben Sie vielleicht noch einen Tipp was ich mir nochmal genauer angucken sollte für die Prüfung?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Kurvendiskussionen, in den Bereich sollte das fallen.

Die Anrede am Board ist im übrigen ein formloses "du". Augenzwinkern
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
..ob ich in die erste Ableitung auch wirklich immer den x-wert einsetzten muss das war die Frage Augenzwinkern
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Ja natürlich, ich dachte, das wäre klar geworden.
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Ja, ist es auch
Ich bedanke mich an dieser Stelle nocheinmal.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Okay, wenn du noch Fragen hast jederzeit gerne wieder, der Account, den du erstellt hast, soll der gelöscht werden? Du hast den ganzen restlichen Thread als Gast gepostet...?
Suzanne212 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion, Extrema Nachweis rechnerisch mit o. Ohne 1. Ableitung! Dringend!
Erstmal nicht, trotzdem danke.
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