Kombinatorik |
| 02.09.2011, 19:32 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kombinatorik Hallo ich habe folgende Aufgabe bei der ich Hilfe brauche. In einem Gefäß befinden sich 6 blaue und 5 rote Kugeln. Es sollen 4 Kugeln mit einem Griff herausgeholt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es : a) 2 blaue Kugeln und 2 rote Kugeln b) 3 blaue Kugeln und eine rote Kugel c) 3 rote Kugeln und eine blaue Kugel d) 4 rote Kugeln zu ziehen? Meine Ideen: Ich habe überlegt als erst die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, doch es ist ja nach den Möglichkeiten gefragt. Deshalb dachte ich an die permutation doch da weiß ich nicht da das ja ohne Wiederholung ist wie ich das mit n! berechnen soll. Eine Kombination ohne Wiederholung habe ich auch nicht verwenden können. Kann mir jemand bitte helfen. |
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| 02.09.2011, 23:12 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kombinatorik Hallo Robert, die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist hypergeometrisch. Schlage bitte in Deinem Tafelwerk (Formelsammlung) nach unter "Hypergeometrische Verteilung". Dort findest Du die Formel für die Wahrscheinlichkeit. Da Du weisst, dass die Wahrscheinlichkeit = günstige Ereignisse(Möglichkeiten) / gesamte Möglichkeiten ist, benutzt Du nur den Zähler dieser Formel. Es gibt auch noch andere Möglichkeiten, diese Aufgabenstellung zu erläutern, ICH nehme jedoch meist den für mich einfachsten/schnellsten Weg und dieser ist in diesem Fall die Nutzung dieser Formel im Tafelwerk. LG Mathe-Maus @opi: Danke für Deinen Hinweis! |
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| 03.09.2011, 08:37 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut danke das hab ich verstanden 
nun ich hatte aber noch nie etwas mit der hypergeometrischen Verteilung zu tun . Ich habe mich im Internet belesen doch ich bin nicht schlau daraus geworden. Man hat ja dann noch M , N , n und k Ich würde nun n wie immer 11 setzen doch wie soll ich 2 blaue und 2 rote nehmen , das sind ja verschiedene Farben. Könntest du mir das bitte anhand von a erklären. Der rest müsste ja dann den selben Lösungsweg haben. Mir ist besonders wichtig der Lösungsweg da ich sonst in der Arbeit eh ein Problem habe wenn ich es nicht verstehe 
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| 03.09.2011, 20:16 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Robert, Du hattest sicher schon etwas mit der hypergeometrischen Verteilung zu tun, nur wurde dieser Begriff wahrscheinlich nicht benutzt. Ich wiederhole mich: Schaue bitte in Deine Formelsammlung, dort wird die entsprechende Formel erklärt, im allgemeinen mit weißen und schwarzen Kugeln. Du musst nur noch statt schwarz/weiß eben blau/rot benutzen. Beachte bitte auch für a) N=11 und n=2 .... LG Mathe-Maus |
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| 04.09.2011, 11:40 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich muss sagen ich hatte das Thema noch nicht mit der hypergeometrische Verteilung, villeicht sollten wir uns das durch diese Aufgabe selbst aneignen. Also mit der Formel komm ich nicht klar wie ich welche Variable festlegen soll.
trotzdem habe ich mal gerechnet und komme für a) auf 150 Möglichkeiten . Könntest du mir bitte sagen ob das richtig ist und sagen wie man das mit der Formel macht Ich habe dies so ausgerechnet. |
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| 04.09.2011, 12:32 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine aufgestellten Binomialkoeffizienten sind richtig. 
Nochmal ganz langsam zm Nacharbeiten: 1) Schreibe die Formel auf. Es reicht der Zähler = gewünschte Ergebnisse. 2) Weise den einzelnen Variablen Werte zu. z.B. N = 11 ( Anzahl der Kugeln in der Urne) 3) Setze die Werte in die Formel ein. Nun bin ich auf Deine Antwort gespannt ... LG Mathe-Maus 
PS: Wenn Du das geschafft hast, zeige ich Dir noch einen anderen Weg. Im Endeffekt muss jeder dann für sich selbst entscheiden, welcher Weg einem ganz persönlich besser liegt ... |
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| 04.09.2011, 13:11 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok vielen dank für deine Antwort
Also nur der Zähler hat die Formel Also N = 11 gesamte Anzahl der Ku8geln , n = 4 die 4 Kugeln die mit einem Griff gezogen werden, K = 5 (rote Kugeln) k= 2 ( rote Kugeln die gezogen werden) In die formel eingesetzt erhält man die Binomialkoeffizienten die ich unten schon gepostet habe nur dass ich die vertauscht aufgeschrieben hatte , aber das ist ja egal wegen der Multiplikation Ich hoffe das ist soweit richtig 
Ich habe dann nochmal ne Frage zu d) ich muss doch dann 0 schreiben im einen Binomialkoeffizienten oder? Ich finde den Weg auch gut , aber ich bin auf den anderen gespannt 
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| 04.09.2011, 14:47 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, Du hast alles richtig gemacht.
Beachte auch bei diesem Beispiel für a) : N = 11 Anzahl der gesamten Kugeln n = 4 Anzahl der gezogenen Kugeln Variante 1) K = 6 Anzahl der blauen Kugeln k = 2 Anzahl der gezogenen blauen Kugeln Variante 2) K = 5 Anzahl der roten Kugeln k = 2 Anzahl der gezogenen roten Kugeln Jenachdem, ob Du Variante 1) oder 2) wählst, erhälst Du Deine beiden unterschiedlichen (vertauschten) Binomialkoeffizienten. Probiere das ruhig nochmal aus, im Endeffekt muss das gleiche Ergebnis rauskommen. zu d) Ja, n - k =0. Für den 1.Binomialkoeffizienten aber unbedingt das richtige K einsetzen. (hier K = 5 rote Kugeln). Wenn Du in der Formelsammlung unter "Binomialkoeffizenten" nachschlägst, wird Dir auch verraten, was (n über 0) ist ... Bis dahin alles klar? LG Mathe-Maus
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| 04.09.2011, 15:12 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok durch dich habe ich das jetzt endlich verstanden
ich habe für a 150 für b 100 für c 60 und für d 5 raus ist das richtig? |
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| 04.09.2011, 15:48 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jepp, alles richtig
Heute abend ab ca. 19 Uhr bin ich wieder da. Dann können wir gerne auch nochl einen anderen Weg zur Lösung dieser Aufgabe besprechen ... Soviel vorab: 1) Schaue Dir in Deinem Mathebuch mal das Thema "Kombinatorische Abzählverfahren" an. 2) Versuche folgende Aufgabe zu lösen: Es gibt 5 Mädchen in einer Klasse. Es soll eine Abordnung von 4 Mädchen ausgewählt werden. Wieviele Kombinationen für diese Abordnung gibt es ? (Hier ist es egal, welches Mädchen zuerst ausgewählt wird, d.h. ohne Beachtung der Reihenfolge.) LG Mathe-Maus |
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| 04.09.2011, 16:10 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zuerst will ich mich bei dir bedanken dafür, dass du mir das recht komplizeirte Thema zumindest für mich verständlich gemacht hast
.Zu deiner Aufgabe würde ich meinen, dass das eine Kombination ohne Wiederholung ist, da ein Auswahlproblem vorliegt die Reihenfolge aber unwichtig ist und die Elemente keine Wiederholungen aufweisen. Ich würde dann n= 5 ( für die 5 Mädchen) und k= 4 ( für die 4 die ausgewählt werden sollen) setzen. Man geht dann in die Formel für Kombinationen ohne Wiederholung und kürzt dann die 4! aus Zähler und Nenner und es kommt als Ergebnis 5 raus, denk ich mal
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| 04.09.2011, 19:24 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zuerst ein Kompliment an Dich zurück, Du hast phantastisch mitgearbeitet ... so macht das gemeinsame Lösen echt Spaß ... 
Nun zu der "Mädchen"-Aufgabe: Alles richtig und super gut erklärt! Hast Du bemerkt, dass Du dabei den Binomialkoeffizienten (n über k) verwendet hast ? --------------------------- Jetzt einen kleinen Schritt weiter: In einer Klasse sind 11 Schüler, 5 Mädchen und 6 Jungen. Es soll eine Abordnung von 2 Mädchen und 2 Jungen gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Abordnung zusammenzustellen ? 1.Schritt: Wie viele Möglichkeiten für die Mädchen-Abordnung gibt es ? 2.Schritt: Wie viele Möglichkeiten für die Jungen-Abordnung gibt es ? Ermittle die Möglichkeiten genauso, wie in der kleinen Aufgabe zuvor, evtl. benutze sofort den Binomialkoeffizienten. Anschließend werfe einen kleinen Blick auf Deine ursprüngliche Kugelaufgabe, Punkt a). Erkennst Du Parallelen ? LG Mathe-Maus
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| 04.09.2011, 19:32 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok danke für das kompliment
auch hier liegt eine kombination ohne wiederholung vor. für den ersten schritt habe ich 10 und für den 2. 60 man hätte ja auch bei der kugelaufgabe zuerst für die blauen kugeln rechnen können und dann für die roten also dass sollte der zusammenhang sein |
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| 04.09.2011, 19:35 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für den 1. Schritt = (5 über 2) = 10 Möglichkeiten Für den 2. Schritt = (6 über 2) = ???? |
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| 04.09.2011, 19:36 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
oh 
der 2. schritt ist 15 |
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| 04.09.2011, 19:42 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Korrekt. Die Gesamtmöglichkeiten sind dann 10 * 15 = 150. Wenn Du jetzt nocheinmal die Formel für die hypergeometrische Verteilung benutzt, muss das gleiche rauskommen. N = 11 n = 4 ( insgesamt 4 Personen sind in der Abordnung) K = 5 ( 5 Mädchen in der Klasse ) k = 2 ( 2 Mädchen in der Abordnung) Weisst Du auch, warum die Möglichkeiten multipliziert werden ? Wenn nein, dann hilft ein Blick in das Theme "Kombinatorische Abzählverfahren". Falls Du noch einen ergänzenden Hinweis benötigst, melde Dich nochmal ... LG Mathe-Maus
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| 04.09.2011, 19:47 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm also ich weiß nicht warum die möglichkeiten multipliziert werden. Könntest du mir das vielleicht erklären? |
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| 04.09.2011, 19:59 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie bereits gesagt, findest Du dazu auch Beispiele und Antworten unter dem Thema "Kombinatorische Abzählverfahren". Solltest Du Dir im Mathebuch nochmal gaaaaaanz langsam zu Gemüte führen. Jetzt jedoch ein kleines Beispiel. Ein Autohaus bietet Autos mit 55 PS in den Farben rot und blau an. Wie viele Zusammenstellungen gibt es ? Für die Kraft 55 PS: 1 Möglichkeit Für die Farbe (rot und blau): 2 Möglichkeiten Die Einzel-Möglichkeiten werden MULTIPLIZIERT. Möglichkeiten insgesamt: 1 * 2 = 2 1. 55 PS und rot 2. 55 PS und blau Frage für Dich: Ein Autohaus bietet Autos mit 55 PS und 75 PS in den Farben rot und blau an. Wie viele Zusammenstellungen gibt es ? Schreibe alle Möglichkeiten auf. |
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| 04.09.2011, 20:06 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also es gibt 4 möglichkeiten 1. 55 ps und rot 2. 55 ps und blau 3. 75 ps und rot 4. 75 ps und blau also eine direkte antwort zu dem multiplizeiren hab ich nicht gefunden. 
Ich kann es mir nur so erklären, dass man in einem Baumdiagramm ebenfalls alles aufmultipliziert und dann die ergebnisse addiert. 
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| 04.09.2011, 20:14 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mit dem Baumdiagramm wäre eine Möglichkeit, geht aber nicht, wenn Du viele Möglichkeiten hast. Anderes Beispiel: Ein Restaurant bietet 5 Vorspeisen, 6 Hauptspeisen und 2 Nachspeisen. Wie viele unterschiedliche Menüs können zusammengestellt werden ? (Bitte zeichne jetzt kein Baumdiagramm
). |
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| 04.09.2011, 20:24 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich würde sagen es ist eine variation ohne wiederholung und somit wäre das Ergebnis 1716
? |
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| 04.09.2011, 20:37 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Viel einfacher: Genauso wie bei den Autos! Die einzelnen Möglichkeiten werden multipliziert. Also: 5 * 6 * 2 = 60 Es gibt also 60 unterschiedliche Menüs. Ich glaube, zu diesem Thema hast Du noch Nachholbedarf ... Eine letzte Aufgabe: In einer Klasse sind 11 Schüler. 5 Mädchen und 6 Jungen. Es soll eine Abordnung von 2 Mädchen und 2 Jungen gewählt werden. Der Klassensprecher hat (mittels Binomialkoeffizienten oder der Formel für die hypergeometrische Verteilung) bereits die Einzelmöglichkeiten berechnet. Für die Zusammenstellung der Abordnung der Mädchen gibt es 10 Möglichkeiten. Für die Zusammenstellung der Abordnung der Jungen gibt es 15 Möglichkeiten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Abordnung zusammenzustellen ? (Das läuft wieder auf Deine Ursprungsaufgabe mit den Kugeln (bzw. meine Mädchen-/Jungenaufgabe) zurück, nur, das die jeweiligen Einzelmöglichkeiten bereits durch den Klassensprecher vorab berechnet wurden. LG Mathe-Maus
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| 04.09.2011, 20:42 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn man die möglichkeiten immer multiplizeirt hätte man 150 verschiedene abordnungen
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| 04.09.2011, 21:04 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
JA, 150 ist richtig. Schaue Dir nochmal die bereits gerechneten Aufgaben an, sicherlich erkennst Du zwischen den Kugeln, den Schülern, dem Binomialkoeffizienten und der hypergoemetrischen Verteilung Parallelen/Zusammenhänge. Kombinatorik ist wahrscheinlich nicht ganz so einfach wie andere Gebiete der Mathematik, da es hier kein Kochrezept nach Schema F gibt. Beachte bitte auch: Die Multiplikation bei der Abordnung (Mädchen und Jungen) gilt nur, wenn es heissst: Eine Abordnung von 2 Mädchen UND 2 Jungen, also kombiniere 10 Möglichkeiten UND 15 Möglichkeiten. Wenn es heisst: Eine Abordnung von 2 Mädchen (=10 Möglichkeiten) ODER 2 Jungen (15 Möglichkeiten), dann wird addiert. Es kommt hier also auf das UND oder ODER an ! Sicher werdet Ihr diese feinen Unterschiede aber noch im Unterricht lernen. Merke: Bei UND werden die Einzelmöglichkeiten multipliziert (siehe auch Pfadregel im Baumdiagramm). LG Mathe-Maus
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| 04.09.2011, 21:08 | Robert1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also Mathe-Maus ich danke dir, dass du dir die Zeit 
für mich genommen hastund mir alles verständlich erklärt hat. Ich habe nicht nur die Aufgaben verstanden sondern auch die Lösungswege. Ich bin dir zu Dank verbunden. 
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| 04.09.2011, 21:29 | Mathe-Maus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen
LG Mathe-Maus
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| 22.09.2011, 16:45 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, ob man für diese Aufgabe unbedingt hätte auf die hypergeometrische Verteilung verweisen müssen (zumal man ja sowieso nur den Zähler benutzt)? Ebenso hätte man auch nur sagen können: Wahrscheinlichkeit, 2 rote Kugeln ohne Zurücklegen (Reihenfolge egal), multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, 2 blaue Kugeln ohne Zurücklegen (ohne Reihenfolge) zu ziehen. |
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| 22.09.2011, 16:50 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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| 22.09.2011, 16:55 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich läuft es auf diesen Zähler hinaus. Ich meinte nur, man hätte nicht unbedingt den Begriff "hypergeometrische Verteilung" ins Spiel bringen müssen (weil der Fragesteller das nicht kannte), sondern man wäre automatisch darauf gekommen, wenn man sich an die Urnenmodelle gehalten hätte. |
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| 22.09.2011, 16:59 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woher hätte der Hilfestellende wissen sollen, das der Fragesteller diesen Begriff nicht kennt? Ich finde, dass Mathe-Maus diese Verteilung sehr gut erklärt hat! |
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| 22.09.2011, 17:01 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat der Fragesteller geschrieben, ich glaube schon im zweiten Beitrag. Da hätte man die alternative Hilfestellung geben können. Ich möchte doch auch niemanden kritisieren. Ich wollte das nur anmerken, das ist schon alles. |
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| 22.09.2011, 21:44 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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