Übungsaufgabe Körperaxiom

02.09.2011, 23:31

Mathe_2010?

Übungsaufgabe Körperaxiom

Hey

Ich habe mir mal aus Jux ein paar Analysis I Übungsaufgaben im Internet gesucht. An sich sehen die Aufgaben recht leicht aus. Für mich scheinenr sie aber zu 'trivial' zu sein Big Laugh

. Es geht um Körperaxiome und zu meiner Verteidigung muss ich sagen, dass ich bisher keine einzige Mathevorlesung hatte und das hier meine einzige Quelle ist...

1) Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = (\frac{a}{b} + \frac{c}{d})\cdot 1=\frac{a}{b}\cdot 1 + \frac{c}{d}\cdot 1 \end{eqnarray*}$ (neutrales Element, dann Distributivgesetz)

$\begin{eqnarray*} = \frac{a}{b}\cdot \frac{d}{d} + \frac{c}{d}\cdot \frac{b}{b} = \frac{ad}{bd} + \frac{cb}{db}=\frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} \end{eqnarray*}$ (inverses Element, Notationskonvention , Kommutativgesetz)

$\begin{eqnarray*} =(ad+bc) \cdot \frac{1}{bd}= \frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$ (Distributivgesetz, Notationskonvention)

Ist das jetzt dieser Beweis, oder habe ich das völlig missverstanden?
Und diese Einzelaxiome (siehe o.g. Link) ergeben sich ja aus der allgemeinen Definition des algebraischen Körper, also darf ich sie für den Beweis verwenden, richtig?

2) Ich soll beweisen: $\begin{eqnarray*} (\frac{x}{y})^{-1}= \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} (\frac{x}{y})^{-1}= \frac{1}{(\frac{x}{y})} = \frac{1}{(x \cdot \frac{1}{y})}= \frac{1}{(x) \cdot (\frac{1}{y})} \end{eqnarray*}$ (Notationskonvention, Notationskonvention, Notationskonvention)

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{(x) \cdot (\frac{1}{y})} \cdot \frac{y}{y}= \frac{y}{(x) \cdot (\frac{1}{y})\cdot (y)} = \frac{y}{(x)\cdot 1 }= \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ (neutrales Element, Assoziativgesetz?, Inverses Element, neutrales Element)

Ich hoffe, ich habe das Prinzip verstanden verwirrt

3) Sei K eine Menge mit einer Addition (x,y)--->x+y und einer Multiplikation (x,y)--->x*y dann gibt es kein x € K mit:

$\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$

Damit bin ich grad total überfordert. Es ist wahrscheinlich tierisch leicht, aber ich komm einfach nicht drauf unglücklich

Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar smile

02.09.2011, 23:47

Grouser

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Die ersten zwei Aufgaben sind gut gelöst.

Die letzte Aufabenstellung ergibt so keinen Sinn.... Es müssen mehr Informationen über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ vorliegen.

03.09.2011, 00:16

Mathe_2010?

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Zitat:

Die ersten zwei Aufgaben sind gut gelöst.

Vielen Dank!

Aber zu K steht da sonst nichts besonderes. Hier mal der Link (letzte Aufgabe).

Analysis I

03.09.2011, 00:38

Grouser

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Da steht etwas ganz Entscheidendes: Beweisen oder widerlegen Sie!

Das sollte dir eigentlich schon weiterhelfen.

03.09.2011, 01:00

Mathe_2010?

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Du meinst:

x=i und damit wäre die Behauptung widerlegt? Habe bis eben nämlich gar nicht an die komplexen Zahlen gedacht Hammer

03.09.2011, 01:03

Grouser

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Der Körper der komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ wäre ein passendes Gegenbeispiel, ja.

Es gibt aber durchaus andere: Betrachte zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ .

03.09.2011, 01:22

Mathe_2010?

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Zitat:

Original von Grouser
Betrachte zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray*}$ .

Oh, na klar Hammer

Wie du um diese Zeit noch klar denken kannst, ist mir ein Rätsel ...
Lernt man diese Fähigkeit im Studium? Big Laugh

Eine Gute Nacht!

03.09.2011, 01:28

Grouser

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Zitat:

Original von Mathe_2010?
Wie du um diese Zeit noch klar denken kannst, ist mir ein Rätsel ...
Lernt man diese Fähigkeit im Studium? Big Laugh

Ich habe leider einen sehr unregelmäßigen Schlaf und schlafe quasi "bei Bedarf". So habe ich vorhin noch ein paar Stunden geschlafen und bin jetzt fit Augenzwinkern

Aber ich kann absolut nicht denken, wenn ich müde bin... Das sieht man ja ganz fantastisch in meinem letzten Thread über das Kurvenintegral Big Laugh

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