Warum scheitert Minus 1 Trick

03.09.2011, 00:45	JustinBieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum scheitert Minus 1 Trick Hallo, folgende Vektoren seien gegeben $\begin{eqnarray} b_1 = (1 & 1 & 1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_2 = (0 & -1 & -1)^T \end{eqnarray}$ Jetzt möchte ich einen dritten Vektor finden, der auf beiden orthogonal steht. LGS: $\begin{eqnarray} < b_1,x > = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} < b_2,x > = 0 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1& 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann ich auf diese Matrix bereits den Zeilen Trick anwenden? Nach einem Schritt Gauss: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0& 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich ihn hier Anwende komm ich auf ein falsches Ergebnis. Denn der Vektor $\begin{eqnarray} (2 & 1 & -1)^T \end{eqnarray}$ steht auf dem Ersten nicht orthogonal. Ist es also absolut notwendig, dass auf der Diagonalen lauter positive Einsen stehen? Bei vielen Übungsaufgaben ist mir das bisher noch nicht aufgefallen. Vielleicht hatte ich ja einfach nur Glück. Kann das jemand bestätigen? Grüße Justin
03.09.2011, 00:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liegt es daran, dass Deine Ausgangsmatrix nicht die gegebenen Vektoren enthält? EDIT: Wenn Du mit "-1-Trick" meinst, dass Du einfach die letzte Spalte nehmen kannst, dann klappt das natürlich nur, wenn vorher in der Diagonalen einsen stehen. Ansonsten wäre das Ergebnis ja nicht 0. (a-a=0, aber $\begin{eqnarray} -a-a\neq0 \end{eqnarray}$ )
03.09.2011, 01:11	ichBinDochNicht...	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Vektoren sind doch zunächst einmal nur zwei Richtungen. Zu einer Richtung kann es beliebig viele andere Richtungen orthogonal dazu geben. Zu Zweien, wenn sie nicht identisch sind, müsste es genau einen orthogonalen Vektor geben. Die Skalarprodukte der Vektoren mit dem gesuchten Vektor müssen jeweils 0 sein. Dann gleichsetzen oder LGS aufstellen (je nachdem, was man heute so nimmt oder dazu sagt) und gesuchten Vektor bestimmen.
03.09.2011, 01:17	JustinBieber	Auf diesen Beitrag antworten »
logn.de/docs/minus_eins.pdf In diesem Dokument steht aber ausdrücklich, dass $\begin{eqnarray} a_ii \in {1,-1} \end{eqnarray}$ vorliegen muss. Und das tut es ja bei mir auch. Nur komme ich auf ein falsches Ergebnis. Wo ist mein Fehler? Mir geht es hier zu verstehen, in welchen Fällen ich Probleme mit dem minus eins Trick bekomme. Grüße Justin
03.09.2011, 16:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum scheitert Minus 1 Trick Die Matrix wird mittels Gauss zunächst so umgeformt, dass sich die Einheitsvektoren darin wiederfinden.(Was bei Dir nicht der Fall ist) Danach wird die Matrix so mit negativen Einheitsvektoren aufgefüllt, dass in der Diagonalen nur die Werte 1 oder -1 stehen. Die Spalten mit dem -1 bilden dann eine Basis des Kerns. Du müsstest also so vorgehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0& 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und dann auffüllen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0& 2 \\ 0 & 1 & -1 \\0&0&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Kern wird also von dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannt. EDIT Vorausgesetzt habe ich dabei, dass Du mit b_2= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gerechnet hast. Ob die Methode soviel schneller ist, wie das Einsetzen einer 1 in die letzte Zeile, möchte ich aber bezweifeln.
03.09.2011, 17:31	JustinBieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Mir ging es nur darum zu Erfahren ob der Minus Eins Trick nur dann funktioniert, wenn auf der Diagonalen nur Einsen stehen (bevor man den Trick anwendet). Mir ging es nicht darum, eine 10 x 10 Matrix zu präsentieren, bei der der Minus Eins Trick sinvoller ist, als manuelles ausrechnen. Juszin
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