Fehlendes Aufgabenverständnis |
| 03.09.2011, 12:01 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Fehlendes Aufgabenverständnis ich bin Chris, 18 Jahre alt, besuche die 12.Klasse eines Technikgymnasiums und die Mathematik sehe ich nicht unbedingt als eine Stärke von mir. Letztes Schuljahr habe ich durchweg ausreichende Noten in Mathe erzielt, auch wenn ich im Unterricht nur selten wirklich was geblickt habe, aber das soll sich endlich ändern. Kommen wir nun zum eigentlichen Problem, aktuell beschäftigen wir uns mit der Analysis und gehen demnächst zur Integralrechnung über und da ich im Unterricht selten etwas verstehe bete ich nun euch um Rat. Oftmals scheitert es gar nicht direkt an meinen Rechnungen, sondern an dem Weg dorthin, sprich ich verstehe die Aufgabenstellung überhaupt nicht und habe keinerlei Ahnung was ich nun machen soll. Ich setze eigentlich immer alles daran es zu verstehen, aber irgendwie funktioniert es nie. Mal ein Beispiel aus meiner aktuellen Hausaufgabe, wie so ziemlich häufig sitze ich dann hier an meinem Schreibtisch und zerbreche mir den Kopf und googel mich dumm und dämlich. Erfolglos. Kommen wir einmal zur Aufgabe: Ein Körper bewegt sich auf der x-Achse. Die Entfernung s (in m) vom Ursprnung zur Zeit t (in s) kann beschrieben werden durch s(t) = 2t^3-5^2-4t+3 a) Ermitteln Sie zum Zeitpunkt t = 1 den Ort und die Geschwindigkeit b) Zu welchen Zeitpunkten durchläuft der Körper den Ursprung? c) Wie weit entfernt sich der Körper zwischen diesen Zeitpunkten vom Ursprung höchstens? Bei Aufgabe a) weiß ich dann schon wieder nicht mehr was ich nun machen soll, ich vermute, dass ich 1 für t in die Grundfunktion oder in eine der Ableitungen einsetze, dies habe ich dann auch getan. Wenn ich für t 1 in der Grundfunktion einsetze erhalte ich -4, was ich damit dann anfangen soll ist mir dann auch schon wieder ein Rätsel, falls dieser Schritt überhaupt richtig war. Wirklich viel machen konnte ich deshalb auch noch nicht, die ersten beiden Ableitungen habe ich aber schon gebildet, die werde ich doch sicherlich benötigen: s'(t)= 6t^2-10t-4 s''(t)= 12t-10 Wie habe ich nun zu verfahren, bzw. was muss ich berechnen, ich blicke da leider überhaupt nicht durch? Mein Ziel ist es auch nicht, dass ihr die Aufgaben für mich löst, mein Ziel ist es den ganzen Müll irgendwann mal zu verstehen und alleine lösen zu können, das kann doch nicht so schwierig sein. 
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| 03.09.2011, 13:00 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, eine Ansatzskizze: zu a) Die Grundfunktion (Die Wege-Funktion des Körpers zum Zeitpunkt t) ist gegeben durch Diese Funktion gibt laut Aufgabenstellung an, wo sich zum Zeitpunkt t ein Körper auf der x-Achse befindet, gemessen vom Ursprung, also von x = 0 aus. Um also herauszufinden, wo sich zum Zeitpunkt t = 1 der Körper befindet, muss s(1) bestimmt werden - Dein Ergebnis "-4" ist also richtig, mache Dir klar, warum. Die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t ist gegeben durch die 1. Ableitung jener Funktion, welche den Weg zum Zeitpunkt t des Körpers beschreibt: Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t ist also die erste Ableitung von s(t) zum Zeitpunkt t, also s'(t). zu b) Es sind die Zeiten gesucht, in denen sich der Körper im Ursprung befindet (der Ursprung ist der Nullpunkt). Da es sich hier um eine Funktion dritten Grades handelt, sind diese Werte nicht so einfach zu berechnen; zu meiner Zeit (hier ist dies auch der Fall) war dies so, dass man einen Wert durch "Raten" finden konnte, wenn es sonst keinen Hinweis gab. Durch Polynomdivision kann nun die Funktion s(t) als Produkt aus einem Polynoms 1. Grades und eines Polynoms 2. Grades dargestellt werden. Dadurch können nun die übrigen Nullstellen berechnet werden. zu c) Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist gesucht, zu welchen Zeitpunkt, der zwischen den in b) ermittelten Werten liegt, sich der Körper am meisten vom Punkt 0 entfernt hat. Darauf kommt man, wenn man ermittelt, zu welchen Zeiten in dem betrachteten Intervall s(t) seine Extremwerte annimmt. Was ist die Bedingung zur Bestimmung eines Extremwertes? Ansonsten gibt es mittlerweile bestimmt gute Bücher, die behandeln, welche Grundtechniken für die Analysis in der Schüle nötig sind. Ansonsten: Trainieren, trainieren. Gruß Christian |
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| 03.09.2011, 16:29 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, das heißt der Ort des Körpers bei t=1 ist -4 auf der x-Achse und mit der ersten Ableitung die ich bereits aufgestellt habe, habe ich nun auch die Geschwindigkeit, sprich Aufgabe A abgehakt? Also Werte geraten haben wir bisher noch gar nicht, eigentlich haben wir es immer auf irgendeinem Weg berechnet, komme ich vielleicht mit den Nullstellen der 1.Ableitung auf den richtigen Weg? Gesucht wird doch der Schnittpunkt mit dem Nullpunkt, wenn ich es richtig verstanden habe. Zur Bestimmung der Extremwerte muss ich s'(t) nullsetzen und je nach dem, ob der Wert größer oder kleiner null ist, habe ich dann Hoch- oder Tiefpunkt. Das mit den Büchern habe ich mir auch schon überlegt, bloß geht es doch sicher auch ins Geld, wenn ich mir für jeden Themenbereich extra Nachschlagewerk zulege, zumal ich nicht glaube, dass ich es dadurch verstehen werde, jedenfalls wenn sie so aufgebaut sind wie Schulbücher. |
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| 03.09.2011, 17:09 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ja, a) ist damit abgehakt. Zu b) Manchmal kann man ein Polynom ersichtlich durch Ausklammern vereinfachen, z.B. (vielleicht zur Übung: Wie würdest Du hier die Nullstellen berechnen?) Wie kommst Du darauf, dass Dich bei Deiner Aufgabe zur Berechnung der Nullstelle die 1. Ableitung weiterbringen könnte? Ich denke schon, dass hier "Raten" die richtige Wahl ist, vergleiche z.B. den Artikel: http://www.mathematik-wissen.de/nullstellen.htm Zu c) Ja, die erste Ableitung muss "0" gesetzt werden. Welcher Wert muss größer oder kleiner Null sein, um zu erkennen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt? Achtung: Da bei der Aufgabe gefragt wird, welche Entfernung vom Ursprung im entsprechenden Intervall der Körper maximal haben kann, könnte nach meiner Meinung der gesuchte Wert auch ein "Tiefpunkt" sein. Wegen der Bücher: Nun ja, das musst Du selbst wissen. Ich persönlich habe gute Erfahrungen mit Büchern gemacht. In großen Buchhandlungen gibt es ja auch die Möglichkeit, sich ein Buch vorher anzuschauen, bevor man es kauft. Eventuell gibt es bei amazon ja auch gebrauchte Exemplare, die billiger sind. Vielleicht gibt es aber auch im Internet gute Seiten, da musst Du halt mal schauen (vielleicht ist obige Seite ja eine davon?). Gruß Christian |
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| 03.09.2011, 18:11 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, vielleicht erstmal ein x ausklammern und dann mit der pq-Formel weiterarbeiten? x*(x^2+2*x+1) Wie gehabt, mit den Lösungswegen habe ich es nicht immer so sehr, das mit der Nullstelle der 1.Ableitung war lediglich eine Vermutung. s''(t) < 0 -> Hochpunkt s''(t) > 0 -> Tiefpunkt Wenn ich s'(t) nun nullsetze, verfahre ich doch eigentlich mit der pq-Formel weiter oder? Allerdings erhalte ich dabei in der Wurzel einen Minuswert, da man aus Minuswerten keine Wurzel ziehen kann macht mich dies ein wenig stutzig, eventuell habe ich falsch eingesetzt oder falsch verfahren. Wegen der Bücher werde ich mich denk ich wohl nochmal genauer informieren. |
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| 03.09.2011, 19:02 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, nochmals nur Nullstellenberechnung: Wir berechnen als Beispiel die Nullstelle von Ein Produkt wird genau dann Null, wenn eines seiner Faktoren "0" wird. Also ist eine Lösung: x1 = 0 Die übrigen Lösungen erhält man, indem man also auch setzt. Dies kann man durch die p-q-Formel lösen, oder man erkennt, dass wir hier eine binomische Formel vor uns haben. Wenn die Schwierigkeit zum Lösen von b) im Durchführen einer Polynomdivision liegt, solltest Du Dir diese Technik unbedingt aneignen. zu c) Ja, es muss s'(t) = 0 gesetzt werden. Zur Lösung kann die p-q-Formel genommen werden, da es sich um eine quadratische Gleichung handelt. Du hast Dich aber verrechnet. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Form vorliegen. In unserem Fall steht aber vor dem t^2 als Faktor eine "6" Die hinreichenden Bedingungen mithilfe der 2. Ableitung, ob es sich um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt, sind korrekt. Gruß Christian |
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| 04.09.2011, 09:35 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, die pq-Formel in dem Beispiel kann ich aber trotz der binomischen Formeln anwenden oder? Zu c) Jetzt wo du es sagst, da war doch was, das heißt, dass ich jetzt erstmal durch 6 teile damit ich auf x² komme oder muss verlief das mit subtrahieren, weil dann hätte ich auf der anderen Seite keine 0 mehr, sondern logischerweise -6. Ich werde es einmal ausprobieren. |
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| 04.09.2011, 11:10 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da ich meinen vorherigen Beitrag leider nicht editieren kann nun ein neuer. Ich habe eben einmal weitergerechnet und die Extremstellen bestimmt, sprich s'(t) erstmal nullgesetzt und die pq-Formel angewandt. Dann habe ich t1 und t2 in die zweite Ableitung eingesetzt, rausgekommen sind nun ein Hoch- und ein Tiefpunkt. HP(0,28|-6,64) TP(1,38|6,56) Das heißt die Lösung für c) ist, dass die höchste Entfernung von 0,28 - 1,38 reicht oder wie habe ich dies nun zu deuten? |
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| 04.09.2011, 12:16 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, beim Bestimmen der Nullstellen hast Du Dich verrechnet. Es sei nun t1 die Stelle, an der ein Hochpunkt vorliegt, d.h: In einer gewissen Umgebung um t1 nimmt die Funktion s(t) an der Stelle t1 ihren größten Wert an. Da hier s(t) die Entfernung vom Ursprung in Abhängigkeit der Zeit angibt, ist also die gesuchte Entfernung zum Zeitpunkt t1: s(t1). Allgemein ist also (wobei ich mich sehr kurz und etwas ungenau halte): Es sei f(x) gegeben. Es sei x1 mit: f'(x1) = 0 und f''(x1) < 0. Dann hat f(x) an der Stelle x1 einen Hochpunkt. Das heißt, es gibt ein Intervall, welches x1 enthält und in dem die Funktion f(x) an der Stelle x1 ihren größten Wert annimmt. Also: Für alle x aus diesem Intervall gilt: f(x) <= f(x1). "Am größten" wird an der Stelle x1 also der Funktionswert f(x), nicht der x-Wert. Du solltest Dir klarmachen, was die 1. Ableitung eigentlich aussagt. Gruß Christian |
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| 04.09.2011, 13:05 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, mir fällt auch gerade auf, dass der HP ohnehin falsch ist, da 0,28 > 0 ist, da habe war ich wohl zu schnell. Also die Nullstellen habe ich wie folgt berechnet: -> in die pq Formel einsetzen => t1= 1,38 t2= 0,28 Diese Werte habe ich dann in die zweite Ableitung für t eingesetzt um die Extremstellen zu bestimmen. Die 1.Ableitung gibt die Steigung an einem gewissen Punkt an, wenn ich mich recht entsinne. |
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| 04.09.2011, 13:24 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, bei der p-q Formel ist zu beachten, dass hier q eine "negative Zahl" ist. Zudem ist 4/6 nicht "0,4". Wie ich schon erwähnte, könnte nach meiner Meinung nach hier der gesuchte Wert auch ein Tiefpunkt sein, denn: Nehmen wir mal an, es sei t1 der Hochpunkt und t2 der Tiefpunkt, und es würde gelten: s(t1) = 3 und s(t2) = -5. Dann wäre s(t2) weiter von "0" weg als s(t1). Gruß Christian |
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| 04.09.2011, 14:03 | Cattivist | Auf diesen Beitrag antworten » |
Moin, 4/6 = 0,67 - Tippfehler meinerseits, huch. Aber vom Prinzip habe ich die Formel dennoch richtig angewandt. In der Berechnung änder sich doch jetzt lediglich die 0,4 und daraus wird ein 0,03. demnach wäre der Wert t1=1,01 und t2=0,66 für die Extremstellen würde ich diese Werte dann wie gehabt in die zweite Ableitung einsetzen, richtig? -> t1=2,12 t2=-2,08 Die höchste Entfernung wäre demnach t1? Ich hoffe ich konnte dir richtig folgen, bin mir gerade eher weniger sicher. |
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| 05.09.2011, 13:04 | ChristianII | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, so stimmt es leider noch nicht. Beim Einsetzen in die p-q-Formel ist zu setzen: q = -(4/6). Unter der Wurzel steht also "... - (-q)" = "...-(-4/6)" = "... + 4/6". Beim Anwenden der Formel muss man die Vorzeichen beachten, Du hast hier "... - 4/6" stehen. Was meinst Du mit "die höchste Entfernung wäre demnach t1?"? Beachte meinen vorletzten Beitrag. Gruß Christian |
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