Pyramide

21.12.2006, 17:38

Dany22

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Pyramide

Hallo,
ich soll eine Pyramide berechnen, welche als Grundfläche ein Dreieck ABC mit den Punkten A(2,3,4), B(3,1,2) und C(4,-1,3) und die Höhe h=3 hat. Die Spitze S befindet sich hierbei über dem Schwerpunkt.
Wie lauten die Koordinaten der Spitze?
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

21.12.2006, 17:44

tigerbine

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RE: Pyramide
Wie berechnet man (oder geometrisch was ist) der Schwerpunkt eines Dreiecks?

22.12.2006, 12:43

tim taler

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RE: Pyramide
Habe ich angesehen, danke.
Prinzipiell ist die Berechnung des Schwerpunkts eines Dreiecks in einer zweidmensionalen Fläche kein Problem.
Ich weiß aber nich wie ich mit den dreidimensionalen Koordinaten umgehen soll. Stehe wohl bischen auf dem Schlauch.

22.12.2006, 12:49

tigerbine

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RE: Pyramide
Hä? Eben hat doch noch Dany gefragt...Mit Multiplen Persönlichkeiten hab ich so meine Probleme...

http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6henschnittpunkt

Die Definition bleibt Doch gleich. D.h. Du kannst Dir das Dreieck, was im Grunde in einer 2dimensionalen Ebene des 3dim Raums liegt, ruhig mal auf ein Blatt Papier malen.

Wir kennen von dem Dreieck die Orstvektoren (Koordinaten) der Punkte A,B,C. Ich leih mir mal das Wiki Bild aus

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/3/3a/Dreieck-Ausgezeichnet.png/300px-Dreieck-Ausgezeichnet.png

Frage1:

Wie können wir die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} S_c \end{eqnarray*}$ berechnen? Ist ja der Mittelpunkt der Seite AB.

22.12.2006, 12:59

tim taler

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RE: Pyramide
Keine Sorge, es gab Probleme beim Absenden der Nachricht.
Mein Bruder ist auch hier angemeldet ...

So erstmal danke, die Skizze schaue ich mir auch schon die ganze und ich denke ich sehe da Probleme wo keine sind verwirrt

verwirrt

Im zweidimensionalen ist es nicht schwierig die Längen a,b und c zu berechnen, allerdings habe ich das im dreidimensionalen noch nie getan(Anfänger ich weiss) . Könntest Du mir einen Vorschlag machen wie ich beispielsweise die Länge c bzw. die Strecke AB berechnen kann?

22.12.2006, 13:01

riwe

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RE: Pyramide

Zitat:

Original von tigerbine
Hä? Eben hat doch noch Dany gefragt...Mit Multiplen Persönlichkeiten hab ich so meine Probleme...

http://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6henschnittpunkt

Die Definition bleibt Doch gleich. D.h. Du kannst Dir das Dreieck, was im Grunde in einer 2dimensionalen Ebene des 3dim Raums liegt, ruhig mal auf ein Blatt Papier malen.

Wir kennen von dem Dreieck die Orstvektoren (Koordinaten) der Punkte A,B,C. Ich leih mir mal das Wiki Bild aus

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/3/3a/Dreieck-Ausgezeichnet.png/300px-Dreieck-Ausgezeichnet.png

Frage1:

Wie können wir die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} S_c \end{eqnarray*}$ berechnen? Ist ja der Mittelpunkt der Seite AB.

das ist aber der weg mit dornen unglücklich

unglücklich

wenn wir den schwerpunkt mit S bezeichen, hast du:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) \end{eqnarray*}$

und dann brauchst du noch den normierten normalenvektor der ebene ABC. es gibt also 2 lösungen.

werner

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22.12.2006, 13:05

tigerbine

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RE: Pyramide
Wir wollen nicht die Länge bestimmen, sondern dern die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$

Welche Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts kennst Du?

Ich würde gerne erstmel "elementar" zu S hinlaufen und Dir dann eine "einfache" Formel geben, ok?

Im dreidimensionalen stellen wir uns immer die FRage, von wo nach wo muss man laufen, mal salopp gesagt:

Von A nach B == Von A zum Ursprung und dann nach B

In Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = - \vec{OA} + \vec{OB} \end{eqnarray*}$

@ WErner: dachte mir schon, dass Du gleich mit der Formel kommst. Mir scheint hier aber jemend in der Vektorrechnung noch nicht so ganz fit zu sein, (siehe andere posts) und elementare Ansätze haben auch ihren Reiz. Big Laugh

Big Laugh

am Ende kann man sich immer die Frage stellen, "gibt's da auch was von ratiopharm?" Big Laugh

Big Laugh

22.12.2006, 13:13

riwe

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RE: Pyramide

Zitat:

Original von tigerbine
Wir wollen nicht die Länge bestimmen, sondern dern die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} s_c \end{eqnarray*}$

Welche Formeln zur Berechnung des Schwerpunkts kennst Du?

Ich würde gerne erstmel "elementar" zu S hinlaufen und Dir dann eine "einfache" Formel geben, ok?

Im dreidimensionalen stellen wir uns immer die FRage, von wo nach wo muss man laufen, mal salopp gesagt:

Von A nach B == Von A zum Ursprung und dann nach B

In Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB} = - \vec{OA} + \vec{OB} \end{eqnarray*}$

@ WErner: dachte mir schon, dass Du gleich mit der Formel kommst. Mir scheint hier aber jemend in der Vektorrechnung noch nicht so ganz fit zu sein, und elementare Ansätze haben auch ihren Reiz. Big Laugh

Big Laugh

sie belieben zu scherzen Big Laugh

Big Laugh

im ernst: ich finde es schade, dass diese hilfreiche formel so versteckt und diskriminiert wird. Big Laugh

Big Laugh

und ich glaube auch nicht, dass einem die vektorrechnung mehr ans herz wächst, wenn man sie möglichst umständlich anwendet, sondern eher, wenn man sieht, dass man damit rascher ans ziel kommt. aber da hast du sicher viel mehr erfahrung verwirrt

verwirrt

und hoffentlich gibt es da nicht zu viele geschwister, von wegen doppelpost und so verwirrt

verwirrt

22.12.2006, 13:19

tim taler

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RE: Pyramide
Danke euch beiden. So ganz fit bin ich nicht das ist kein Geheimnis aber ich tue mein bestes um es zu werden.

Also in der Regel berechne ich Flächen nach Gauß und den daraus resultierenden Schwerpunkt S wie folgt
xs= 1/6 (xihoch2 + xi*xi+1 + xi+1hoch2) * (yi+1 - yi)/F
ys= 1/6 (yihoch2 + yi*yi+1 + yi+1hoch2) * (xi - xi+1)/F

Beim Dreieck bietet sich natürlich auch die Flächenberechnung nach Heron an.

22.12.2006, 13:23

tigerbine

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RE: Pyramide
@wernerrin:

Ich will diese Formel nicht dikriminieren!!! Sie sollte am Pyramideneingang ein Denkmal haben. Don't get me wrong! traurig

traurig

Erfahrung, ja ich würde sagen, dass ich die habe. Ob ich mehr habe, glaube nicht, da Du hier in GeoSachen sehr aktiv bist Freude

Freude

Mir ist nur im Rahmen der Nachhilfe immer wieder aufgefallen, dass die Schüler oft nicht wissen, sobald Vektoren dastehn, was sie zu tun haben. Sprich die Übersetzung einfacher Geo Begriffe wir Mittelpunkt oder ähnliches werden zum riesen Problem. Da mir aufgefallen ist, das tim schon mehr fragen zum Thema analytische Geo /LinA gestellt hat, dachte ich es wäre sinnvoll mal einen Weg zu zeigen, wie man von "A nach B" kommen kann, sprich wie übersetze ich die Konstruktion eines Punktes in Vektorrechnung. Wollte ihn also "mehr" zeigen, als nur den Schwerpunkt.

Zur nachfolgenden Berechnung sollte er sich die Formel unbedingt merken, da stimme ich Dir voll zu.

Idee!

Idee!

Idee!

So Tim, wie lauten die Koordinaten des Schwerpunkts?

22.12.2006, 13:29

tigerbine

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RE: Pyramide
@Tim: wer macht's jetzt kompliziert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also wenn schon eine Formel, dann die von "werner". Dann sind wir ruckzuck durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) \end{eqnarray*}$

Jetzt bitte mal die Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OC}= \begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetzten.

Noch eine bitte. Schau Dir mal den Formeleditor an. Kannst auch unsere Beträge mal zitieren, dann siehst Du iwe es geht. Gerade wenn Du noch mehr Fragen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.12.2006, 13:36

tim taler

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RE: Pyramide
Ok somit liegt OS bei (3,1,3) (Spaltenvektor).
Bei einer Höhe von 3 liegt die spitze bei OSp(3,1,7) ??

22.12.2006, 13:37

tim taler

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RE: Pyramide
sorry meinte (3,1,6) (Spaltenvektor)!

22.12.2006, 13:41

tigerbine

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RE: Pyramide
Von Null auf hundert. Jetzt geht's aber rund...

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OS}=\frac{1}{3}(\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf die Spitze (Höhenvektor)???

22.12.2006, 13:43

tim taler

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RE: Pyramide
Es ist ein Höhe von 3 gegeben also dacht ich das ich die zur z- Koordinate hinzu addieren sollte??

22.12.2006, 13:44

tim taler

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RE: Pyramide
Moment mal, der Normalenvektor wäre doch hier hilfreich oder?

22.12.2006, 13:46

riwe

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RE: Pyramide

Zitat:

Original von tim taler
Moment mal, der Normalenvektor wäre doch hier hilfreich oder?

korrekt
werner

22.12.2006, 13:50

tigerbine

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RE: Pyramide

Zitat:

Werner:

und dann brauchst du noch den normierten normalenvektor der ebene ABC. es gibt also 2 lösungen.

Wer hatt's schon geschrieben Big Laugh

Big Laugh

22.12.2006, 14:03

tim taler

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RE: Pyramide
Koordinaten der Spitze
OB - OA = aV = (1,-2,-2) (Spaltenvektor)
OC - OA = bV = (2,-4,-1) (Spaltenvektor)

Dann Kreuzprodukt av X bv = (-6,-3-0) Spaltenvektor
Höhe = 3 --> somit Spitze bei (-6,-3,3), ok?

22.12.2006, 14:19

tigerbine

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RE: Pyramide
Normalenvektor der "Dreiecksebene", kann es Vektorprodukt von AB x AC berechnet werden.

1.
$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\-3 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Normierung

$\begin{eqnarray*} \vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{45}}\cdot \begin{pmatrix} -6 \\-3 \\0 \end{pmatrix} = \frac{1}{3\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\-3 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Bedenke, dass es 2 Lösungen gibt

22.12.2006, 14:45

tim taler

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RE: Pyramide
Warum genau 2 Lösungen und wie kommt man auf die normierung unter Punkt 2?

22.12.2006, 14:49

tigerbine

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RE: Pyramide
Naja, woher weißt Du denn auf welcher Seite der Dreiecksebene die Spitze liegt?

Zur normierung gebe ich die FRage zurück:

- was ist ein Normierter Vektor? -> einer mit Länge 1
- wie berechnet man die Länge eines Vektors? -> mit einer Norm
- welche norm wird meistens genommen? die euklidische

http://de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Norm

22.12.2006, 15:16

tim taler

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RE: Pyramide
Ok der normierte Vektor entspricht dem Einheitsvektor.
Habe mir die Norm angeschaut aber wie kommt man auf 1/Wurzel(45)bzw. auf 1/3*Wurzel(5)??

22.12.2006, 15:20

marci_

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$\begin{eqnarray*} \sqrt {45} =\sqrt {9*5}=\sqrt 9* \sqrt5 = 3*\sqrt 5 \end{eqnarray*}$

22.12.2006, 15:26

tim taler

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und warum gerade 45?

22.12.2006, 15:30

tigerbine

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Die Länge, Norm des Vektros n ist

$\begin{eqnarray*} ||\vec{n}||_2=\sqrt{(-6)^2+(-3)^2+(0)^2}=\sqrt{36+9+0}=\sqrt{45} \end{eqnarray*}$

22.12.2006, 15:37

tim taler

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ok soweit. wenn ich dies nun ausrechne habe ich als ergbniss
(-0.894,-0.447,0).
Was bedeutet das nun?
Wie komme ich denn nun auf die beiden Möglichkeiten der Spitzen koordinaten?

22.12.2006, 15:48

marci_

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du musst einfach rechnen: $\begin{eqnarray*} S_{1,2} =\vec{s} \pm 3*\vec{n_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec {s} \end{eqnarray*}$ : schwerpunkt
$\begin{eqnarray*} \vec {n_0} \end{eqnarray*}$ : der normierte vektor( =normaleneinheitsvektor)

also vom schwerpunkt aus 3 LE nach oben bzw. unten gehen...

22.12.2006, 15:50

tigerbine

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@werner: siehste - deswegen wollte ich mal von Punkt zu Punkt durch die Dornen laufen Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OS} \pm 3\cdot \overrightarrow{n_0} \end{eqnarray*}$

22.12.2006, 16:09

tim taler

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Lösung 1: (0.317,-0.342,3)
Lösung 2: (5.683, 2.342,3)

Ist das nun richtig?

22.12.2006, 16:16

tigerbine

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Warum schreibst Du die Wurzeln nicht hin? Rundungen sind teuflisch Teufel

Teufel

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OS} \pm 3\cdot \overrightarrow{n_0} = \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 3 \end{pmatrix} \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \begin{pmatrix} -6 \\-3 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1=(3-\frac{6}{\sqrt{5}};1-\frac{3}{\sqrt{5}};3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_2=(3+\frac{6}{\sqrt{5}};1+\frac{3}{\sqrt{5}};3) \end{eqnarray*}$

Näherungsweise sind deine Lösungen richtig Freude

Freude

22.12.2006, 16:19

tim taler

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Dankeschön für die geduldige Hilfe! Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.12.2006, 16:23

tigerbine

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Frohes fest

http://smiliestation.de/smileys/Engel/34.gif

22.12.2006, 16:25

tim taler

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Danke gleichfalls!
Möglicherweise tauchen bis dahin aber schon wieder neue Fragen auf :-)

Schöne Feiertage!!!

22.12.2006, 16:30

tigerbine

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LEg sie untern Baum...vielleicht schenk' ich Dir ne Antwort Augenzwinkern

Augenzwinkern

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