Stetigkeit |
| 03.09.2011, 14:01 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Stetigkeit ich repetiere gerade ein wenig gewisse Definitionen, und habe mit Schrecken feststellen müssen, dass mir zwar bewusst ist, wo die Definitionsunterschiede zwischen "normaler" Stetigkeit, Lipschitz-Stetigkeit und gleichmässiger Stetigkeit liegen, aber dass mir die Vorstellung zu den Unterschieden fehlt. Also "normale" Stetigkeit kann ich mir gut vorstellen. Hier die Fragen: Ist es korrekt, dass der Graph einer gleichmässig stetigen Funktion - wie der Name schon sagt - gleichmässig steigt oder fällt? Und der Graph einer Lischitz-stetigen Funktion nicht mehr steigt/fällt als eine gewisse Konstante? Ist das eine korrekte Vorstellung der Begriffe? Und gleich noch was: Aus gleichmässiger Stetigkeit folgt immer auch Lipschitz-Stetigkeit, oder? (umgekehrt nicht unbedingt..) |
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| 03.09.2011, 14:39 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Stetigkeit
Nein, jede stetige Funktion ist auf einer kompakten Menge gleichmäßig stetig. Mit dieser Tatsache lässt sich leicht ein Gegenbeispiel konstruieren.
Das kommt darauf an was du unter der Steigung einer Funktion verstehst. Die Betragsfunktion auf den reellen Zahlen ist Lipschitz-stetig, von einer Steigung zu reden macht aber wenig Sinn. (Zumindest nicht solange der Begriff ordentlich definiert wurde oder eine entsprechende Konvention bekannt ist.)
Nein, es ist umgekehrt. Jede Lipschitz-stetige Abbildung ist gleichmäßig stetig, aber Umgekehrtes gilt i.A. nicht . |
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| 03.09.2011, 16:54 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit Vielen Dank für die Korrekturen. Darf ich fragen, wie du dir diese Begriffe vorstellst? ...oder merkst du dir einfach die Definitionen, mit welchen du dann solche Statements wie jene von mir widerlegen kannst? |
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| 03.09.2011, 17:07 | Eric_09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit Hallo Leute, als "Zusammenfassung" möchte ich folgende Kette in den Raum schmeißen: in einem Punkt stetig < stetig < gleichmäßig stetig < Lipschitz-stetig < differenzierbar 
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| 03.09.2011, 17:13 | Guest007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit Interessante Posts 
..stetige Differenzierbarkeit lässt sich aber leider nicht mehr in die Kette integrieren, oder? (weil das ja nicht zwingend aus der diffbarkeit folgt...richtig?) |
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| 03.09.2011, 17:13 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kenne die Definitionen und ich weiß wie sich Vertreter der unterschiedlichen Klassen unter bestimmten Bedingungen verhalten. Den Satz von Heine habe ich ja betreits genannt. Auch gilt etwa, dass jede differenzierbare Funktion mit beschänkter Ableitung lipschitz-stetig ist. (Beweis mit dem Mittelwertsatz) Aussagen dieser Art prägen sich mir z.B. beim Bearbeiten der Übungszettel ein. @Guest: Ich glaube du liest Erics Kette falsch. Stetige Differenzierbarkeit kannst du einfach rechts dranhängen. Edit: Bis auf die Tatsache, dass nicht jede lipschitz-stetige Funktion differenzierbar ist, wie ich oben schon gezeigt habe! |
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| 03.09.2011, 17:29 | Guest007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich lies das so: aus stetig folgt gleichmässig stetig, daraus folgt... "Bis auf die Tatsache, dass nicht jede lipschitz-stetige Funktion differenzierbar ist, wie ich oben schon gezeigt habe! " -->Dazu müsste man einfach eine kompakte Menge haben, oder? |
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| 03.09.2011, 17:34 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, die Betragsfunktion ist auf lipschitz-stetig, aber nicht differenzierbar. |
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| 03.09.2011, 17:34 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Stetigkeit
Der Punkt "Lipschitz-stetig < differenzierbar" stimmt nicht, es gibt diffbare Funktionen, die nicht Lipschitz sind, auch auf einem Kompaktum. Auf einem Kompaktum gilt noch stetig diffbar Lipschitz-Stetigkeit, wenn der Definitionsbereich nicht kompakt ist, gilt das aber auch nicht mehr (dann muss die Funktion noch nicht mal gleichmäßig stetig sein). |
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| 03.09.2011, 17:38 | Eric_09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit Alles klar, sorry, den letzten Punkt nehm ich zurück! Hatte noch sowas im Hinterkopf, auch wegen Mittelwertsatz und so, aber dabei die Beschränktheit vergessen ^^ |
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| 03.09.2011, 17:46 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit Ich danke euch für die wertvollen Beiträge! Guest007 hats erfasst: Interessante Posts
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| 03.09.2011, 18:08 | Analysieren | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Stetigkeit @Guest: Du liest das gerade verkehrt: Aus gleichmässig stetig folgt stetig, zum Beispiel. |
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| 03.09.2011, 20:21 | Gastmathematiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Stetigkeit
Wobei diffbar mit beschränkter Ableitung, daraus folgt Lipschitzstetigkeit, das gilt so auch nur, wenn man von einem Intervall als Definitionsbereich redet (oder im Mehrdim. von einem konvexen Def.Bereich. |
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