Partikulärlösung bei inhomogener DFGL |
| 03.09.2011, 15:02 | ted_11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Partikulärlösung bei inhomogener DFGL Hi, Gesucht ist die allgemeine Lösung von y''(t)+2y'(t)+y(t)=cos(t) Meine Ideen: Ich habe mal die allgemeine Lösung von der homogenen DFGl gesucht und yo(t)= e^-t(C1 + C2) erhalten. Nur auf die Partikulärlösung yp(t) komm ich einfach nicht.. In der Lösung steht y(t)= 1/2sin(t) + e^-t(C1+C2) Den einen Teil habe ich ja bereits herausgefunden, dass ist y0(t), aber ich verstehe einfach nicht wie man auf 1/2sin(t) kommt. In unserem Heft steht, dass man durch "Raten" auf yp(t)kommen soll, ist das korrekt oder gibt es einen genaueren Weg? Bin sehr dankbar, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte! |
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| 03.09.2011, 15:41 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, man muss raten. 
Schau mal hier. |
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| 03.09.2011, 15:49 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo ted_11!
Beides stimmt nicht ganz, da fehlt jeweils noch was (Stell dir mal die Frage, wieso man die beiden Konstanten nicht einfach zu einer zusammenfassen kann?!)
Blödsinn! In der Mathematik wird nicht geraten 
Du hast auf der linken Seite eine gesuchte Funktion und einen haufen Ableitungen stehen, rechts cos(t). D.h., dass auch die gesuchte Fkt. y_p "irgendwas mit dem Kosinus zu tun haben muss". Allerdings stehen ja links auch Ableitungen von y_p. Also müssen auch Ableitungen des Kosinus berücksichtigt werden. Die Ableitung von cos(xt) ist -sin(t), die zweite Ableitung -cos(t), also wieder ein Kosinus. Fazit: In y_p können cos(t) und sin(t) vorkommen. Das führt uns zu dem Ansatz . Das muss links eingesetzt werden und damit A und B berechnet werden. Sowas nie gemahct? VG Dustin |
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| 03.09.2011, 16:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Entschuldigung, wenn ich mich hier einmische, aber ist denn die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung nicht ? Es handelt sich ja um eine Differenzialgleichung höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Und eine partikuläre Lösung erhält man doch mittels "Variation der Konsanten", wenn ich das richtig sehe. |
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| 03.09.2011, 16:42 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Huch, auf die Lösung der homogenen habe ich gar nicht geschaut. @Dennis2010: Das ist nicht die allgemeine Lösung, das ist ein Fundamentalsystem der DGL. |
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| 03.09.2011, 16:45 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Daß es die allgemeine Lösung sein soll, habe ich auch nicht geschrieben. "Allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung" hatte ich geschrieben: Das kann man nicht sagen?.. |
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| 03.09.2011, 16:47 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist auch nicht die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, sondern eben ein Fundamentalsystem derselben. (Hatte ich auch so verstanden, wie du es gemeint hast) |
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| 03.09.2011, 16:48 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist , wobei jetzt obige Fundamentalmatrix sein soll. |
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| 03.09.2011, 16:49 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn , dann ja.
Edit: Jawohl, das hast du richtig editiert. Vielleicht sollte ich demnächst einfach mal ein bisschen abwarten, ob andere noch was ändern. |
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| 03.09.2011, 16:52 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, hatte das gerade noch zugefügt, was ich mit Y meinte. Und wenn man jetzt noch eine partikuläre Lösung benötigt, so erhält man diese meines Wissens durch: . Edit: Hier ist n=2 und deswegen reduziert sich das Ganze dann für eine partikuläre Lösung z(t)auf , wobei mit W die Wronskideterminante gemeint ist. |
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| 03.09.2011, 16:55 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, würdest du den allgemeinen Ansatz wirklich als "raten" bezeichnen? Immerhin steckt ein allgemeines System dahinter! Übrigens hatte ich deinen post noch nicht gesehen, als ich meinen machte, das Wort "Blödsinn" bezog sich also nicht auf dich, Cel
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| 03.09.2011, 17:05 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, dann eben Raten mit System. Hier noch ein Link zum "Erraten" einer partikulären Lösung (speziell für n=2), weil obige Formel vllt. doch etwas zu viel Aufwand ist: http://math-www.uni-paderborn.de/~mathki...onst_Koeff.html |
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| 03.09.2011, 17:05 | ted_11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank erstmals für die Antworten!
@ Dustin Ups habe mich vertippt, die Lösung von y0(t) = e^-t(C1 + C2t) Ist es das, was du gemeint hast? Deine Erklärung leuchtet mir ein, jetzt hab ich aber noch eine allgemeine Frage zur Partikulärlösung: Muss man um y_p(t) zu bekommen immer einen solchen Ansatz erstellen? (Vielleicht ist das ja mit "Raten" gemeint) Doch ein bisschen bekannt kommt mir das schon vor
, ich hab mit einer Kollegin zusammen eine ähnliche Aufgabe gemacht, sie hat mir gesagt um y_p(t) zu bekommen muss man immer den Ansatz y_p(t) = Ae^±t + B verwenden. Ich nehme an, dass man den Ansatz allerdings immer eben durch Überlegen je nach Aufgabe neu erstellen muss. |
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| 03.09.2011, 17:09 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In der Regel macht man schon einen solchen Ansatz; die sind ganz gut kategorisiert: s. Link von Cel oder den Link von mir für n=2. Man kann die partikuläre Lösung aber auch mit obiger Formel und Wronskideterminante berechnen, ist aber wohl in den meisten Fällen sehr aufwändig. |
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| 03.09.2011, 17:13 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja
Jetzt stimmt's (hat ja auch Dennis schon geschrieben)
Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung orientiert sich an der rechten Seite der inhomogenen Gleichung. Der Ansatz, den ich oben hingeschriebn habe, macht Sinn, wenn die rechte Seite nur aus cos(t) und sin(t) besteht (genauer, wenn sie z.B. die Form 5 cos(t) -8 sin(t) hat). Ebenfalls einfache Ansätze bekommst du, wenn rechts eine einfache e-Funktion oder ein Polynom steht (siehe Cels und/oder Dennis' Link!) Ansonsten wirds komplizierter und kann ggf. tatsächlich in echtes Raten ausufern (allerdings gibt es auch noch das System mit "Variation der Konstanten"). VG |
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| 03.09.2011, 17:16 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Dennis:
OK, darauf können wir uns einigen
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